Мат. ожидание минимума двух непрерывных случайных величин

[shantibiotic]

Доброго времени суток!
Столкнулась со следующей задачей: даны две независимые случайные величины, равномерно распределенные на полуинтервалах [0, 2) и [0, 3). Необходимо найти математическое ожидание минимума этих с.в. Затруднение вызывает тот факт, что интервалы распределения у них различаются.
Далее мой ход мыслей и вопрос, буду благодарна за поправки там, где я ошибаюсь и за помощь.
1. Нужно найти ФР минимума двух с.в. Отсюда делаю вывод, что ФР равна $1 - (1 - F_s_1 \cdot F_s_1)$. $F_s_1$ и $F_s_2$, в свою очередь, равны $\frac{x}{b_n}$, где $b_n$ - правая граница интервала распределения для каждой с.в
2. Далее находим плотность - производная найденной на предыдущем шаге функции
3. Наконец, мат. ожидание -

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}x \cdot f(x) dx $$

, где $f(x)$ - плотность распределения.
Вот только что делать с этим интегралом дальше? Насколько я понимаю, если бы интервалы были равными, интеграл в итоге нужно было бы брать от, скажем, нуля до двух. А что делать в случае, когда интервалы различны? Нужно найти общее распределение минимума, как?

[Xaositect]

shantibiotic в сообщении #1292807 писал(а):

1. Нужно найти ФР минимума двух с.в. Отсюда
делаю вывод, что ФР равна $1 - (1 - F_s_1 \cdot F_s_1)$.

Формула неверная (и она упрощается до $F_s_1 F_s_2$). Давайте подробнее, как Вы ее получили, что такое $F_{\min\{s_1, s_2\}}$ по определению и как его считать.

Цитата:

$F_s_1$ и $F_s_2$, в свою очередь, равны $\frac{x}{b_n}$, где $b_n$ - правая граница интервала распределения для каждой с.в

Это только внутри интервала, а еще слева она равна $0$, а справа $1$.

shantibiotic в сообщении #1292807 писал(а):

Вот только что делать с этим интегралом дальше? Насколько я понимаю, если бы интервалы были равными, интеграл в итоге нужно было бы брать от, скажем, нуля до двух. А что делать в случае, когда интервалы различны? Нужно найти общее распределение минимума, как?

Ну так Вы же нашли на втором шаге плотность, и она отличается от нуля только на каком-то отрезке. Что у Вас получилось?

atlakatl в сообщении #1292811 писал(а):

МО минимума равно нулю, если строго подходить.

Ни в коем случае.

[Евгений Машеров]

shantibiotic в сообщении #1292807 писал(а):

Нужно найти ФР минимума двух с.в. Отсюда
делаю вывод, что ФР равна $1 - (1 - F_s_1 \cdot F_s_1)$

Внимательнее перечитайте материал по Вашей ссылке. Там немного не то умножать надо.

[Karan]

Обсуждение определения минимум двух случайных величин отделено в тему «Минимум случайных величин»

[--mS--]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1292834 писал(а):

Внимательнее перечитайте материал по Вашей ссылке. Там немного не то умножать надо.

Да, похоже, и святая дева Мария перестала помогать...

[shantibiotic]

Да, у меня там, конечно, ошибка: ФР будет равна $1 - (1 - F_s_1) \cdot (1 - F_s_2)$.
Но вопрос был не в этом, я не понимаю, как найти совместное распределение для двух с.в., по каким границам считать интеграл для нахождения мат. ожидания?
Плотность получилась $\frac{5}{6} - \frac{x}{3}$, отлична от нуля при $x\ne2.5$. Тогда нужно считать сумму интегралов от минус бесконечности до двух с половиной и от двух с половиной до плюс бесконечности, правильно понимаю?

[Xaositect]

shantibiotic в сообщении #1292879 писал(а):

Но вопрос был не в этом, я не понимаю, как найти совместное распределение для двух с.в., по каким границам считать интеграл для нахождения мат. ожидания?

По тем, где плотность ненулевая.

shantibiotic в сообщении #1292879 писал(а):

Плотность получилась $\frac{5}{6} - \frac{x}{3}$, отлична от нуля при $x\ne2.5$.

Неверно. Плотность отрицательной быть не может.

Это потому что Вы считаете, что $F_{s_1}(x) = x/2$, хотя она вообще-то $F_{s_1}(x) = \begin{cases} 0, &x < 0, \\ x/2, &0 \leq x < 2, \\ 1, &x \geq 2. \end{cases}$
И аналогично для $s_2$.