Да, всё в порядке. Теперь это и Ваша матрица. Или, наоборот, ничья. Поэтому обозначим её просто
.
Так как в Вашей задаче ставится вопрос о распределении воды в вёдрах первой группы, естественно исключить величины, относящиеся ко второй группе, что Вы и сделали. Более того, естественно теперь «туда-назад» считать одним шагом и индекс после выполнения такого шага увеличивать на 1, а не на 2. По крайней мере, я буду придерживаться такого правила.
Что теперь делать с этой матрицей? Самое простое — находить количества воды в вёдрах первой группы после
-го шага, если известны количества после
-го шага. Например, пусть количество воды в ведрах
и
равно
, а остальные вёдра пустые. Тогда после «туда-назад» будет
![$\begin{bmatrix}A_{n+1}\\[0.5ex]C_{n+1}\\[0.5ex]E_{n+1}\\[0.5ex]G_{n+1}\\[0.5ex]I_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 4&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&\frac 1 4&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 4&\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 3 8\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 8\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/d/13d6b4a009ba78debf821fc3d8c0a77482.png "$\begin{bmatrix}A_{n+1}\\[0.5ex]C_{n+1}\\[0.5ex]E_{n+1}\\[0.5ex]G_{n+1}\\[0.5ex]I_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 4&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&\frac 1 4&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 4&\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 3 8\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 8\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}$")
Ответ: в
будет
, в
будет
, в
будет
, вёдра
и
пустые.
Если мы хотим узнать, что будет через два шага, появляется выбор: можно вектор состояния
дважды умножить слева на матрицу
:
А можно сначала возвести матрицу в квадрат (
), а потом вектор
умножить на этот квадрат слева:
Если интересно, что будет через тысячу шагов, конечно, можно найти тысячную степень
в лоб, либо тысячу раз умножить вектор на
слева. К счастью, существуют гораздо более простые способы. Благодаря этому можно написать не слишком сложную явную (не рекуррентную) формулу для вектора состояния после любого количества шагов.
.![$\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
=M_1 \begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/d/48d1b4b411c7cc2b04976da2816da78582.png "$\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
=M_1 \begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
$")
![$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}=M_2
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/2/5c2257393572e06fb71fcb0b828404eb82.png "$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}=M_2
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
$")
![$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
=M_s
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/b/84b5eea875452958656ffad18180166782.png "$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
=M_s
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}$")
![$M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix} M_2= \begin{bmatrix} 1&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&1\end{bmatrix}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/b/01bfcf90805c7244d32813f7d4eeaccf82.png "$M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix} M_2= \begin{bmatrix} 1&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&1\end{bmatrix}
$")
![$M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/b/7db5e5a3e9db927541715dd4a01af87082.png "$M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix}$")
и вектор 
, который соответствует вполне определенному состоянию системы, - «вся вода находится в ведре А». Матрица 
имеет также вполне определенное назначение. В ней, с учетом предложенного 
, Вы предлагаете переливать воду из ведра А, ведра первой группы, на основании правила перелива воды из ведер второй группы, что является ошибкой.