2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Льем воду
Сообщение13.02.2018, 15:58 
уважаемый svv
По поводу вашего «задания»
Обозначим
$A_{2n-1},C_{2n-1},E_{2n-1},G_{2n-1},I_{2n-1},B_{2n},D_{2n},F_{2n},H_{2n},A_{2n+1},C_{2n+1},E_{2n+1},G_{2n+1},I_{2n+1}$
за количество воды в заданном ведре на определенном шаге $n=1,2,…$ .
Тогда
$\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
 =  \begin{bmatrix}1&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
=M_1 \begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}
$

$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}=M_2
\begin{bmatrix}B_{2n}\\[0.5ex]D_{2n}\\[0.5ex]F_{2n}\\[0.5ex]H_{2n}\end{bmatrix}
$

Перемножим матрицы

$M_s=M_1 M_2$

Отсюда

$\begin{bmatrix}A_{2n+1}\\[0.5ex]C_{2n+1}\\[0.5ex]E_{2n+1}\\[0.5ex]G_{2n+1}\\[0.5ex]I_{2n+1}\end{bmatrix}
 =M_s
\begin{bmatrix}A_{2n-1}\\[0.5ex]C_{2n-1}\\[0.5ex]E_{2n-1}\\[0.5ex]G_{2n-1}\\[0.5ex]I_{2n-1}\end{bmatrix}$

Задание выполнено?

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение13.02.2018, 16:19 
Аватара пользователя
vamoroz в сообщении #1292272 писал(а):
Задание выполнено?

Выполнено.
Только не правильно.
Такие матрицы, как у Вас перемножить невозможно.
Хотя бы потому, что число столбцов в первой матрице должно быть равно числу строк во второй.
А у Вас всё с точностью до наоборот!

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение13.02.2018, 16:23 
Аватара пользователя
Наглядное пособие.
Изображение

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение13.02.2018, 22:14 
Исправляю матрицы
$M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix}    M_2= \begin{bmatrix} 1&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&1\end{bmatrix}
$
На всякий случай проверяю правильность умножения матриц через электронный сервис
http://ru.onlinemschool.com/math/assist ... /multiply/

Уважаемый svv
Задание выполнено?

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение13.02.2018, 23:19 
Аватара пользователя
Да, всё в порядке. Теперь это и Ваша матрица. Или, наоборот, ничья. Поэтому обозначим её просто $M$.

Так как в Вашей задаче ставится вопрос о распределении воды в вёдрах первой группы, естественно исключить величины, относящиеся ко второй группе, что Вы и сделали. Более того, естественно теперь «туда-назад» считать одним шагом и индекс после выполнения такого шага увеличивать на 1, а не на 2. По крайней мере, я буду придерживаться такого правила.

Что теперь делать с этой матрицей? Самое простое — находить количества воды в вёдрах первой группы после $n+1$-го шага, если известны количества после $n$-го шага. Например, пусть количество воды в ведрах $A$ и $C$ равно $\frac 1 2$, а остальные вёдра пустые. Тогда после «туда-назад» будет
$\begin{bmatrix}A_{n+1}\\[0.5ex]C_{n+1}\\[0.5ex]E_{n+1}\\[0.5ex]G_{n+1}\\[0.5ex]I_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 4&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&\frac 1 4&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 4&\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac 3 8\\[0.5ex]\frac 1 2\\[0.5ex]\frac 1 8\\[0.5ex]0\\[0.5ex]0\end{bmatrix}$
Ответ: в $A$ будет $\frac 3 8$, в $C$ будет $\frac 1 2$, в $E$ будет $\frac 1 8$, вёдра $G$ и $I$ пустые.

Если мы хотим узнать, что будет через два шага, появляется выбор: можно вектор состояния $v_n$ дважды умножить слева на матрицу $M$:
$v_{n+1}=Mv_n$
$v_{n+2}=Mv_{n+1}$
А можно сначала возвести матрицу в квадрат ($M^2=MM$), а потом вектор $v_n$ умножить на этот квадрат слева:
$v_{n+2}=M^2 v_n$

Если интересно, что будет через тысячу шагов, конечно, можно найти тысячную степень $M$ в лоб, либо тысячу раз умножить вектор на $M$ слева. К счастью, существуют гораздо более простые способы. Благодаря этому можно написать не слишком сложную явную (не рекуррентную) формулу для вектора состояния после любого количества шагов.

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение14.02.2018, 04:31 
Аватара пользователя
vamoroz в сообщении #1292346 писал(а):
Исправляю матрицы

И опять у Вас всё "правильно наоборот". :D
На всякий случай проверьте, "через электронный сервис",
чему будет равно :
$M_1 \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
:facepalm:

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение16.02.2018, 09:16 
Уважаемый Лукомор

В своем последнем сообщении Вы пишите ...
Лукомор в сообщении #1292378 писал(а):
На всякий случай проверьте, "через электронный сервис",
чему будет равно :
$M_1 \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
В в качестве проверки, проверяющей правильность решения предложенной задачи, Вы пытаетесь выполнить математические вычисления, которые не соответствуют условиям самой задачи. Кроме того, вычисления предлагается выполнить с помощью онлайн программы, которая, при вводе предлагаемых Вами данных, сообщает, что так считать нельзя. Восприняв сообщение программы за «последнюю истину», Вы объявляете предложенное в теме решение ошибочным, аргументируя свои выводы безсмысленными вычислениями.
В Ваших вычислениях присутствуют две величины.
это матрица $M_1=\begin{bmatrix}\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 2&\frac 1 2&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2\end{bmatrix}$ и вектор $x = \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$ , который соответствует вполне определенному состоянию системы, - «вся вода находится в ведре А». Матрица $M_1$ имеет также вполне определенное назначение. В ней, с учетом предложенного svv правила (стандарта), отражены условия перелива воды из ведер второй группы (ведра B, D, F, H) в ведра первой группы (ведра A, C, E, G, I). Согласно приведенной записи $M_1 x$ , Вы предлагаете переливать воду из ведра А, ведра первой группы, на основании правила перелива воды из ведер второй группы, что является ошибкой.

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение16.02.2018, 17:45 
Аватара пользователя
vamoroz в сообщении #1292770 писал(а):
Вы пытаетесь выполнить математические вычисления, которые не соответствуют условиям самой задачи.

- Не мы, а вы!
vamoroz в сообщении #1292770 писал(а):
В Ваших вычислениях присутствуют две величины.

Не в наших, а в ваших! :D

 
 
 
 Re: Льем воду
Сообщение17.02.2018, 05:45 
Аватара пользователя
vamoroz
Еще раз проверьте Ваши равенства в первом сообщении на этой странице.
(Между словом "Тогда...", и словами "Перемножим матрицы").
Вы там пытаетесь умножить матрицу размерности 5х4 на матрицу размерности 5х1,
затем матрицу размерности 4х5 на матрицу размерности 4х1.
Такие матрицы, как у Вас там, перемножить невозможно, по определению.
Затем Вы якобы исправили там что-то, переставив цифирь внутри матриц, но оставили размерности матриц прежними...
То-есть не исправили, в принципе, ничего.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение17.02.2018, 22:31 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: очередная попытка не удалась.


-- 17.02.2018, 22:32 --

 !  Поскольку ТС начал жаловаться на "бессодержательные сообщения" критикующих, думаю, пора заканчивать. vamoroz, персональное предупреждение - следующая тема про доску Гальтона в любой формулировке для Вас закончится постоянным баном.

 
 
 [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group