Закон противоречия в логике лишний?

[AAA1111]

Есть один вопрос который возник у меня ещё на заре знакомства с учебником логики.
Зачем нужен так называемый закон противоречия, если его содержание полностью исчерпывается так называемым законом исключённого третьего?
Ведь если высказывание либо истинно, либо ложно (а третьего не дано), то и так понятно, что оно не может быть одновременно ложным и истинным.
Получается, что закон противоречия лишний. Но название у него очень выразительное, гораздо лучше, чем у закона исключённого третьего.

Вот недавно опять читал справочник по математике, и там встретил в разделе "Элементы логики" эти два закона.
Откуда это всё пошло, от Аристотеля и античных логиков?

Я бы сделал проще и лучше, как мне кажется.
Оставил бы только закон исключённого третьего, но переименовав его в закон противоречия.
Т.к. так лучше отображается его самая суть.

[atlakatl]

Это один и тот же закон. Есть формулировка классической логики, а есть - современной математики. В последней употребляется термин "закон противоречия".

[AAA1111]

atlakatl в сообщении #1292181 писал(а):

Это один и тот же закон. Есть формулировка классической логики, а есть - современной математики. В последней употребляется термин "закон противоречия".

Конкретно в этом справочнике по математике (для углублённого школьного уровня), эти два закона упоминаются отдельно:

Справочник по математике. Кожухов И. Б. Прокофьев А. А. писал(а):

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключённого третьего).
Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

При чём упоминаются в такой формулировке, при которой избыточность второго становится совсем уж очевидной.
Справочник плохой?

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #1292172 писал(а):

Оставил бы только закон исключённого третьего, но переименовав его в закон противоречия.
Т.к. так лучше отображается его самая суть.

Тут проблема будет в том, что в интуиционистской логике закон исключенного третьего не закон (конечно, он для некоторых высказываний остаётся работать), а закон непротиворечия никак не страдает. Вы связали их средствами, которые есть только в классике.

Если интересна интуиционистская логика, о ней можно получить представление с помощью интерпретации BHK (БГК, Брауэра—Гейтинга—Колмогорова). Среди примеров по ссылке как раз показывается закон непротиворечия.

[AAA1111]

arseniiv в сообщении #1292187 писал(а):

Если интересна интуиционистская логика, о ней можно получить представление с помощью интерпретации BHK
(БГК, Брауэра—Гейтинга—Колмогорова). Среди примеров по ссылке как раз показывается закон непротиворечия.

К сожалению, английский мной по прежнему не освоен.

[arseniiv]

Ну, по-русски тоже должно быть, я не зря фамилии их привёл.

И ещё.

AAA1111 в сообщении #1292172 писал(а):

Откуда это всё пошло, от Аристотеля и античных логиков?

Если говорить о том минимальном наборе утверждений, пользуясь которыми можно будет сделать любой чисто логический вывод, то тут уже давно великое разнообразие, хотя чтобы закон противоречия попадался в популярных аксиоматиках, я не припомню. Жёстко фиксированную аксиоматику нельзя найти даже для такой бедной системы, которую можно получить, взяв единственной логической связкой эквивалентность — а что уж говорить о более полных, и особенно с использованием большего числа связок!

[AAA1111]

arseniiv в сообщении #1292191 писал(а):

Ну, по-русски тоже должно быть, я не зря фамилии их привёл.

Искал, по "интерпретации БГК" но пока только маркетинговые матрицы какие-то попадались. Позже конкретнее попробую поискать.

arseniiv в сообщении #1292187 писал(а):

Тут проблема будет в том, что в интуиционистской логике закон исключенного третьего не закон (конечно, он для некоторых высказываний остаётся работать), а закон непротиворечия никак не страдает.

Получается это два разных закона. А как они тогда формулируются на языке математической логики?

[Mikhail_K]

AAA1111 в сообщении #1292172 писал(а):

Ведь если высказывание либо истинно, либо ложно (а третьего не дано), то и так понятно, что оно не может быть одновременно ложным и истинным.

Не понятно. Закон исключённого третьего говорит, что не может быть утверждения ни-истинного-ни-ложного, а закон противоречия - что не может быть утверждения истинного-и-ложного.
Конечно, можно их попытаться объединить в один закон: сказать в одном предложении, что не существует ни тех, ни других, а только истинные-но-не-ложные и ложные-но-не-истинные. Но, как было сказано, есть такие, кто отрицает существование истинных-и-ложных утверждений, но при этом не отрицает существования не-истинных-не-ложных. Поэтому есть смысл эти два закона различать.

[AAA1111]

Mikhail_K в сообщении #1292201 писал(а):

а закон противоречия - что не может быть утверждения истинного-и-ложного.

Из формулировки ЗИТ в справочнике следует в том числе и это. Там же так и сказано, что либо истинно, либо ложно.
Т.е. формулировка ЗИТ из справочника неверная?

[Mikhail_K]

AAA1111 в сообщении #1292206 писал(а):

Там же так и сказано, что либо истинно, либо ложно.

Фраза "либо истинно, либо ложно" не исключает возможности того и другого вместе.
Не только здесь, но и везде в математике. Фразы вида "либо $A$, либо $B$" в математических текстах чаще всего означают "либо $A$, либо $B$, либо то и другое вместе", а не "либо $A$, либо $B$, но не то и другое вместе".
Если, конечно, автор это специально не оговаривает.

[AAA1111]

Mikhail_K в сообщении #1292209 писал(а):

Фраза "либо истинно, либо ложно" не исключает возможности того и другого вместе.
Не только здесь, но и везде в математике. Фразы вида "либо $A$, либо $B$" в математических текстах чаще всего означают "либо $A$, либо $B$, либо то и другое вместе", а не "либо $A$, либо $B$, но не то и другое вместе".

Тогда это ясно.

Ещё пара вопросов.

1. Встречал мнение, что ЗИТ это более острая форма закона противоречия. Т.е. подразумевалось, что ЗИТ включает в себя закон противоречия, но дополняет его дополнительными требованиями.
Получается, что такое мнение ошибочное?

2. На языке матлогики эти законы как записываются:

Закон противоречия:
$A \bigwedge \neg A = false$

Закон исключённого третьего:
$A \bigvee \neg A = true$

Так?

[mihaild]

AAA1111 в сообщении #1292215 писал(а):

Получается, что такое мнение ошибочное?

В приведенной формулировке - да, ошибочно. Возможно, при произношении имелась в виду какая-то другая формулировка закона исключенного третьег.

AAA1111 в сообщении #1292215 писал(а):

На языке матлогики эти законы как записываются:

Скорее как $\neg(A \wedge \neg A)$ и $A \vee \neg A$ (где под $\neg X$, в зависимости от раздела, может пониматься $X \rightarrow \bot$). Знак равенства в таких ситуациях обычно не используется.

[AAA1111]

mihaild в сообщении #1292219 писал(а):

(где под $\neg X$, в зависимости от раздела, может пониматься $X \rightarrow \bot$).

А этот значёк в конце что означает?

[mihaild]

AAA1111 в сообщении #1292221 писал(а):

А этот значёк в конце что означает?

Тождественная ложь. Иногда является частью сигнатуры, иногда считается сокращением для чего-то типа $A \wedge \neg A$.
(чтобы узнать $\TeX$ код формулы, достаточно навести на нее курсор)

[AAA1111]

mihaild в сообщении #1292228 писал(а):

Тождественная ложь. Иногда является частью сигнатуры, иногда считается сокращением для чего-то типа $A \wedge \neg A$.

Понятно, спасибо всем. Пока вопросов больше нет.