Интеграл от убывающей

[SomePupil]

Вещественнозначная функция $f$ непрерывно убывает на $[0, \frac{\pi}2].$ Доказать неравенство

$$\int\limits_0^\frac{\pi}2 f(x)\cos{x}\, dx \le \int\limits_0^1 f(x)\, dx.$$

Выяснить, при каких условиях будет выполняться равенство.

[thething]

Замена $t=\sin{x}$ не? Что тут олимпиадного-то?

-- 11.02.2018, 18:36 --

А равенство, если $f(x)\equiv{1}$

[SomePupil]

thething в сообщении #1291825 писал(а):

Что тут олимпиадного-то?

Это из Seemous-2016.

thething в сообщении #1291825 писал(а):

Замена $t=\sin{x}$ не?

Можете поподробнее расписать?

[thething]

SomePupil
Выполните замену переменной в определенном интеграле. Потом останется показать, что $\arcsin{t}\geqslant{t}$. Проще всего (наверное) используя выпуклость арксинуса

[SomePupil]

thething, у меня решение под рукой, лол.

-- 11.02.2018, 18:07 --

Можно уже считать $-$ решено.