найти интересную сумму

[isf_litsey6]

$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}$
моя попытка:
$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}=\dfrac{1}{1!(1+2+2\cdot3)}+\cdots+\dfrac{1}{2016!(1+2017+2017\cdot2018)}=\dfrac{1}{1!\cdot3\cdot3}+\dfrac{1}{2!\cdot4\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{2016!\cdot2018\cdot2018}=\dfrac{2}{3!\cdot3}+\dfrac{3}{4!\cdot4}+\cdots+\dfrac{2017}{2018!\cdot2018}=\left(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{3!\cdot3}\right)+\left(\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{4!\cdot4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2018!}-\dfrac{1}{2018!\cdot2018}\right)$
дальше несмог

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- кому надо найти сумму?
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Можно ещё попробовать преобразовать

$$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$

и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

[thething]

Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

[isf_litsey6]

Someone в сообщении #1296595 писал(а):

Можно ещё попробовать преобразовать

$$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$

и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

я это пробовал уже, по моему ни чего не даёт

-- 11.03.2018, 06:59 --

thething в сообщении #1296647 писал(а):

Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

вот это как раз и использовал

[isf_litsey6]

7

Someone в сообщении #1296595 писал(а):

Можно ещё попробовать преобразовать

$$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$

и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

получаем сумму из $\dfrac{1}{(n+1)!\cdot n}$ а дальше как?

[thething]

Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму сколько-нибудь красиво? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

[isf_litsey6]

thething в сообщении #1296671 писал(а):

Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму в конечном виде? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

это задача для школьников 11класса

[kotenok gav]

WolframAlpha выдает отношение двух сверхгигантских чисел.

[isf_litsey6]

неужели ни у кого больше никаких идей не нашлось?

[wrest]

isf_litsey6 в сообщении #1296672 писал(а):

это задача для школьников 11класса

Непохоже, что задача имеет какое-то "красивое" решение.
Уже пять первых слагаемых дают четыре верных значащих цифры.

[Лукомор]

Пока игрался с факториалами, наткнулся на интересную сумму ряда, о которой я раньше не знал:

$\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=1$,

соответственно:

$\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=\frac{1}{2}$.

Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

[wrest]

Лукомор в сообщении #1296928 писал(а):

Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

Вольфрам считает как сумму ряда так и частичную сумму, но результат явно не школьный.

[isf_litsey6]

оказывается если в числителях вместо 1 было бы 3,4,...,2018 получалось бы красивая задача и хороший ответ. может быть произошла ошибка в тексте?
а если числители будут соответственно 1,2,3,...,2016 можно ли решить ? если да то думаю из этих двух сумм можно составить решение данной суммы