Задание цилиндрической поверхности

[Aritaborian]

Есть пространственная кривая $\mathbf{r}(u) = (x(u), y(u), z(u))$. Если из каждой точки кривой опустить перпендикуляр на плоскость $Oxy$, эти отрезки сформируют часть цилиндрической поверхности, «сверху» органиченной исходной кривой, а «снизу» — её проекцией на плоскость $Oxy$.
Пример для $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, \frac{1}{12}\cos(12 t) + 1)$:

(Код Wolfram Language)

f[t_] := {Cos[t], Sin[t], 1/12 Cos[12 t] + 1}
Show[ParametricPlot3D[{f[t], ReplacePart[3 -> 0][f[t]]}, {t, 0, 2 \[Pi]}, PlotStyle -> Gray], Graphics3D[{Thick, Gray, Table[Line[{f[t], ReplacePart[3 -> 0][f[t]]}], {t, 0, 2 \[Pi], 2 \[Pi]/96}]}], Boxed -> False, Axes -> None]

В данном простом примере получаем часть прямого кругового цилиндра, снизу ограниченную окружностью, сверху — некоей кривулькой.
Вопрос: как задать такую поверхность параметрически, уравнениями и неравенствами? Понятно, что, напрмер, часть цилиндра, отсекаемая двумя параллельными плоскости $Oxy$ плоскостями, задаётся как $\mathbf{r}(u, v)=(\cos v, \sin v, u), v \in [0, 2\pi], u \in [u_1, u_2]$. Но дальше у меня пока затык.

[B@R5uk]

У вас оси координат фиксированы или же их можно расположить "удобным образом" относительно задаваемой поверхности?

Вам обязательно, чтобы область определения второго аргумента поверхности не зависела от первого аргумента? Другими словами вы хотите прямоугольник в координатах $(u, v)$ отобразить на вашу поверхность, или же это может быть не прямоугольник, а любая двумерная фигура?

По второму вопросу: если первое, то надо сначала отобразить прямоугольник в плоскую развёртку поверхности, а потом свернуть её, если же второе, то — сразу взять развёртку и свернуть её.

[svv]

$(x(u), y(u), v), \;v\in...$ ?

[Xaositect]

Я даже не знаю, что написать, если не полное решение.
1) Как параметризовать отрезок с концами в $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ параметром $u \in [0, 1]$?
2) Как параметризовать поверхность, заметаемую отрезком с движущимися концами $(x_1(t), y_1(t), z_1(t))$ и $(x_2(t), y_2(t), z_2(t))$?