Помогите решить поверхностный интеграл

[tank0412]

Задание:
\int \int xz dS \ S: X + Y + Z = 2 \ x,y,z >= 0
Мои попытки решения:
x = 2 - Y - Z \\ X'y = -1 \\ X'z = -1 \\ \int \int f(x,y,z) ds = \int \int f (x(y,z), y, z) * \sqrt ( (X'y)^2 + (X'z)^2 + 1)
\sqrt( (X'y)^2 + (X'z)^2 ) = \sqrt( 1 + 1+ 1)
Таким образом
\int \int xz ds = \int \int (2 - y - z) * z * \sqrt(3) = \int \int (2z - yz - z^2) * \sqrt(3)
Найдем прямую:
\begin{cases}x + y + z = 2 \\ x = 0 \end{cases} = > z = 2 - y \
*построил график*
0 <= z <= 2 - y \ 0 <= y <= 2
*продолжение интеграла*
= \sqrt(3) * \int (2z - yz - z^2) dy \int dz
P.S. \int (2z - yz - z^2) - определенный интеграл. y - от 0 до 2
\int dz - определенный интеграл. z от 0 до 2-y
В общем, я получил нерешаемый интеграл. Можете помочь? У меня долг по математике, а преподаватель отказался обьяснять мне мои ошибки в этом решении т.к. я должник и должен был задавать такие вопросы раньше (это полностью моя вина, а преподаватель имеет полное право отказать мне)
P.P.S Заранее извиняюсь за кривое использование формул на этом форуме. (хотя я пытался изучать мануалы)

[thething]

Глаза... наберите формулы, пока не поздно. Ваша поверхность описывается явно, так что ищите формулу для этого случая.

-- 08.02.2018, 21:53 --

Вообще, как-то привычнее выражать $z$, тогда проекцией поверхности на плоскость $xOy$ ,будет треугольник с вершинами $(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)$. Дальше останется только параметризовать его каким-либо способом, например, принять за параметр $x$, как при вычислении двойного интеграла.

[svv]

Что такое $X, Y, Z$ ?

[DeBill]

tank0412
Страшно то как Вы пишите формулы....
И понятно: если Вы так читаете мануалы, то у Вас - да, проблемы с математикой.
Но самое смешное - это что все правильно у Вас...Каким то чудом...
Но почему же интеграл нерешаемый? Очень даже решаемый: считаете внутренний, подставляете пределы, и получится вполне себе приличный. Испугаться его может токо тот, кто по жизни ни с какими интегралами не сталкивался.
Так что - вперед,

[thething]

(Оффтоп)

Не, ну интеграл-то реально нерешаемый.. Берущийся -- да

[thething]

Давайте я напишу, как должен выглядеть Ваш итоговый интеграл, может, это поможет Вам его посчитать:
$\int\limits_{0}^{2}\left(\int\limits_{0}^{2-y}(2z-yz-z^2)dz\right)dy$
Правильность расстановки Вами пределов интегрирования я не проверял, так что на Вашей совести. Главное -- сперва вычисляйте внутренний интеграл, считая $y$ константой, а затем внешний