Инерционность магнитного потока

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые, возник такой вопрос. Магнитный поток, возникший в магнитопроводе, стремится сохранить свое состояние (если глупость сказал, пожалуйста поправьте), по аналогии с инертной массой по закону инерции в механике. Также в электротехнике известен закон коммутации для индуктивности (это следствие из "инертности магнитного потока", если правильно понимаю). Из какого закона вытекает "инертность магнитного потока"? Или как это показать, исходя из общих положений? Если это так, то "инертность" относится именно к потоку или к вектору магнитной индукции?

[EUgeneUS]

Stensen
Из явления самоиндукции, которое следует из закона индукции Фарадея.
Нужно понимать, что "инертность магнитного потока" - это некая образная аналогия, которая имеет права на существование, потому что некоторые уравнения в механике и электродинамике иногда похожи.

[rascas]

Stensen
Из законов Максвелла конечно.
Примените например "закон индукции Фарадея" и "теорему о циркуляции магнитного поля" к тонкой тороидальной обмотке.

[Stensen]

Попытаюсь формализовать то, что хочу спросить. Полный магнитный поток в катушке-это: $\Phi_0 = \Phi_{ext} + \Phi_{in} $ , где: $\Phi_{ext} , \, \Phi_{in} $ - это внешний и внутренний ("самоиндукции") потоки соответственно. Внутренний вектор магнитной индукции $\vec{B}_{in}$ порождается индукционным током $I$. Понятно, что направление $\vec{B}_{in}$ определяется правилом Ленца и $\Phi_{in} $ уменьшает изменения внешнего потока $ \Phi_{ext} $, т.е. формально, по логике, должно быть так: $\frac{\partial \Phi_0 }{\partial \Phi_{ext}} (0)= 0 $. Возможен ли такой подход? Если да, то продолжая:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \Phi_{0} = \Phi_{ext} +\Phi_{in} \\ \Phi_{in}=LI \\ I=\frac{\mathcal{E}}{r} \\ \mathcal{E}=-\frac{d \Phi_{ext}}{d t} \end{array} \right.$$

отсюда:

$\Phi_0 = \Phi_{ext} - \frac{L}{r} \cdot \frac{\partial \Phi_{ext}} {\partial t} $ и

$ \frac{\partial \Phi_0}{\partial \Phi_{ext}} = 1- \frac{L}{r} \cdot \frac{\partial ^2 \Phi_{ext}} {\partial t \cdot \partial \Phi_{ext}} =0$ (по предположению). Отсюда могу найти условия, при которых такое выполняется:

$ \frac{\partial ^2 \Phi_{ext}} {\partial t \cdot \partial \Phi_{ext}} = \frac{r}{L}$. Предположив, что выполнены условия для замены порядка дифференцирования:

$ \frac{\partial ^2 \Phi_{ext}} {\partial t \cdot \partial \Phi_{ext}} = \frac{\partial ^2 \Phi_{ext}} {\partial \Phi_{ext} \cdot \partial t} = \frac{\partial \frac{\partial \Phi_{ext}} {\partial \Phi_{ext}} } {\partial t}=0$ , т.к. $ \frac{\partial \Phi_{ext}} {\partial \Phi_{ext}}=1$ и тогда: $ \frac{r}{L} = 0 $.

Что-то не складывается, где-то косяк? Подскажите, возможно ли таким образом показать "инерционность" полного магнитного потока? Или его "инерционность" объясняется появлением внутреннего потока (экспериментально подтвержденным), препятствующего по правилу Ленца, изменениям внешнего?

[rascas]

Похоже, что закон индукции Фарадея неправильно записан. Там должен быть полный магнитный поток. $\mathcal{E}=-\frac{d \Phi_{0}}{d t}$
Далее надо найти зависимость изменения потока самоиндукции $\Phi_{in}(t)$ от времени, при изменении (отключении) внешнего магнитного потока $\Phi_{ext}$ .

[specialist]

Не знаю поможет ли это вам:
$\textbf F \textbf =m \frac{d\textbf v }{d t} $
$\ u_L \textbf =L \frac{d i_L }{d t} $
вот аналогия индуктивности с инерционностью, а можно заглянуть и в потоки:
$\textbf F \textbf =\frac{d\textbf p }{d t} $
$\ u_L \textbf =\frac{d \text Ф }{d t} $
если предположить что скорость изменится мгновенно (функцией Хевисайда), то ускорение будет изменяться функцией Дирака, которая будет уходить в бесконечность - нарушится закон сохранения энергии. Аналогично можно и про ток порассуждать. Но важно помнить, то что, математические формулировки похожи, это лишь удобный прием облегчающий понимание. Природа их разная и это видно даже в том что сила и скорость это вектора, а токи И напряжения это скаляры.
Есть книжка такая Ольсон Г. Динамические аналогии, можно туда глянуть.

[Stensen]

specialist в сообщении #1290245 писал(а):

Есть книжка такая Ольсон Г. Динамические аналогии, можно туда глянуть.

Посмотрел, почитаю.

rascas в сообщении #1290234 писал(а):

Похоже, что закон индукции Фарадея неправильно записан. Там должен быть полный магнитный поток. $\mathcal{E}=-\frac{d \Phi_{0}}{d t}$ .

Да, подправил:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \Phi_{0} = \Phi_{ext} +\Phi_{in} \\ \Phi_{in}=LI \\ I=\frac{\mathcal{E}}{r} \\ \mathcal{E}=-\frac{d \Phi_{0}}{d t} \end{array} \right.$$

получил:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{d \Phi_{0}}{dt} + \frac{r}{L} \cdot \Phi_{0} = \frac{r}{L} \cdot \Phi_{ext}\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \Phi_{in} = - \frac{L}{r} \cdot \frac{d \Phi_{0}}{dt} \,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array} \right.$$

rascas в сообщении #1290234 писал(а):

Далее надо найти зависимость изменения потока самоиндукции $\Phi_{in}(t)$ от времени, при изменении (отключении) внешнего магнитного потока $\Phi_{ext}$ .

Если в (2) подставлю: $\Phi_{0} = \Phi_{ext} +\Phi_{in} $ получу: $ \frac{d \Phi_{ext}}{dt} = 0$. Не понимаю как найти зависимость $\Phi_{in}(t)$ от времени? И что означает "... при изменении (отключении) внешнего магнитного потока $\Phi_{ext}$"? Поясните пожалуйста.

[specialist]

Stensen в сообщении #1290590 писал(а):

Не понимаю как найти зависимость $\Phi_{in}(t)$ от времени?

Просто следуя вашей логике: (1) - обыкновенное дифференциальное уравнение относительно $ \Phi_{0} $; (2) -уравнение с производной $ \Phi_{0} $; для решения не хватает начальных условий.

Stensen в сообщении #1290590 писал(а):

И что означает "... при изменении (отключении) внешнего магнитного потока $\Phi_{ext}$"? Поясните пожалуйста.

Наверно имеется ввиду электрическая схема той установки которую вы рассматриваете. И чтоб зафиксировать работу правила Ленца, нужно посмотреть переходные процессы "при изменении (отключении) внешнего магнитного потока"

[rascas]

Согласен со specialist

Stensen в сообщении #1290590 писал(а):

Не понимаю как найти зависимость $\Phi_{in}(t)$ от времени? И что означает "... при изменении (отключении) внешнего магнитного потока $\Phi_{ext}$"? Поясните пожалуйста.

Ваша система уравнений это фактически ОДУ: $\Phi_{in} = - \frac{L}{r} \cdot \frac{d (\Phi_{ext} + \Phi_{in}) }{dt}$
Предполагаем, что мы управляем внешним магнитным потоком. Т.о. функция $\Phi_{ext}$ известна. Установим также начальное условие $\Phi_{in}(0)=0$
Далее решаем задачу Коши и находим $\Phi_{in}(t)$
Например, если внешний поток постоянный с отключением в момент времени $t_1$ (Рис 1), то $\Phi_{in}(t)$ получится как не Рис2

Приведенные графики показывают, что при отключении внешнего потока, катушка индуктивности мгновенно создаёт собственный внутренний магнитный поток, который компенсирует отсутствующий внешний магнитный поток. Это и есть инерционность магнитного потока в катушке индуктивности.

[Stensen]

Спасибо всем, прояснилось.

[Stensen]

rascas в сообщении #1290642 писал(а):

Приведенные графики показывают, что при отключении внешнего потока, катушка индуктивности мгновенно создаёт собственный внутренний магнитный поток, который компенсирует отсутствующий внешний магнитный поток. Это и есть инерционность магнитного потока в катушке индуктивности.

(Оффтоп)

Пришла в голову интересная аналогия. А что если ускоренно движущееся массивное тело под воздействием действующей на него внешней силы порождает вихревое гравитационное (или Хигсово) поле, порождающее, в свою очередь, силу, противодействующую той, которая ускоряет тело (аналогия с правилом Ленца). Из-за этого тело не может перемещаться в пространстве скачком, а только соблюдая законы инерции. Понятно что бред, но пришла ведь мысль в голову. А может такая аналогия уже где-то рассматривалась?

[specialist]

Stensen в сообщении #1291044 писал(а):

(Оффтоп)

Пришла в голову интересная аналогия. А что если ускоренно движущееся массивное тело под воздействием действующей на него внешней силы порождает вихревое гравитационное (или Хигсово) поле, порождающее, в свою очередь, силу, противодействующую той, которая ускоряет тело (аналогия с правилом Ленца). Из-за этого тело не может перемещаться в пространстве скачком, а только соблюдая законы инерции. Понятно что бред, но пришла ведь мысль в голову. А может такая аналогия уже где-то рассматривалась?

(Оффтоп)

Вы же сами написали: "..Понятно что бред..". Аналогии это преподавательский прием, направленный на развитие понимания и интуиции у инженеров (инженеры сталкиваются в среднем с одними и теме же явлениями и задачами, причем даже математически формулировки этих задач похожи, поэтому для уменьшения времени разжевывания материала проводят аналогии, но даже в этом случае специально оговаривают условия в которых эти аналогии корректны). Аналогии корректны только тогда когда рассматриваемые явления имеют одну и туже математическую модель различающуюся только параметрами. Когда вы глубоко рассматриваете какие то явления, делать заявления о природе этих явлений, на основании аналогий - не корректно, на основании различий природы этих явлений. Ну и когда приходит в голову идея: разбивайте идею на части, которые описывают различные разделы физики и начинайте поэтапный анализ вашей идеи в соответствии
с этими разделами.