Углы на целочисленной решетке

[DrVirogov]

Введём на плоскости прямоугольную систему координат Oxy.
Возьмём точку A с целочисленными координатами и построим луч Ob так,
чтобы было $\angle xOA = \angle AOb$.
Доказать, что 1: на Ob найдётся точка B с целочисленными координатами
и 2: длина отезка OB - целая.

[atlakatl]

Что такое $x$ и $b$?

[DrVirogov]

x и b просто метки, которые позволяют разтличать лучи.
Т.е. Ox это ось абсцисс, а Ob - луч, проходящий через O.

[ИСН]

Ну, первое тривиально. Пусть $A=(p,q)$, тогда возьмём $B=(p^2-q^2,2pq)$.
Второе тоже. Смотрим на азимут точки B (необязательно именно этой, а вообще) и видим, что и синус, и косинус у него рациональны. Когда же такое бывает?

[DeBill]

DrVirogov
Т.е., знаете ли Вы формулу для тангенса двойного угла?
И умеете ли Вы выражать синус-косинус через тангенс?

[DrVirogov]

Вообще-то я знаю много формул и эти в том числе. А вот к чему этот вопрос?

[DeBill]

DrVirogov в сообщении #1291762 писал(а):

А вот к чему этот вопрос?

Это я просто хотел пояснить, откуда возникла искомая точка у ИСН...

[DrVirogov]

Спасибо!
Впрочем, догадаться было несложно - задачка-то простая (хотя у меня теплилась надежда, что простая, но не тривиальная) .