Замедление вращения спутника. ФЛФ задача 19.7

[Uchitel'_istorii]

Условие:

PNG писал(а):

19.7. Для замедления вращательного движения искусственных спутников используется следующее устройство. Однородный круглый диск радиуса $R$ и массы $M$ может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира $P$, установленного в центре диска. На краю диска укреплены два маленьких груза, масса каждого из них $m$. С диском их соединяют две нити длины $l$, намотанные по его периферии (см. рисунок). Когда диск вращается, грузики одновременно освобождаются без изменения полного момента количества движения системы. После этого грузики отлетают от диска, и в тот момент, когда нити натягиваются вдоль радиальных направлений, они соскакивают с крючков $H$ и $H'$, позволяя грузикам улететь. Найдите длину нитей $l$, при которой угловая скорость диска в результате этой операции уменьшится в $n$ раз.

Решение МИФИ:

PNG писал(а):

Пусть диск с прижатыми грузиками вращается с угловой скоростью $\omega_0$. Его момент количества движения $L_0$ равен $[MR^2/2 + 2mR^2] \cdot \omega_0$.
В момент срыва нитей с крючков $H$ и $H' $ диск вращается с угловой скоростью $\omega_1$, определяемой из закона сохранения момента количества движения:
$(\tfrac{MR^2}{2} + 2mR^2) \omega_0 = [\tfrac{MR^2}{2} + 2m(R+l)^2] \omega_1$
т. е.

$\omega_1 = \tfrac{MR^2 + 4mR^2}{MR^2 + 4m(R+l)^2} \omega_0$

После отделения грузиков диск продолжает вращаться с той же угловой скоростью $\omega_1$ , так что угловая скорость диска уменьшается в $n$ раз, если
$\tfrac{MR^2 + 4mR^2}{MR^2 + 4m(R+l)^2} = \tfrac{1}{n}$ т. е. $l = R[\sqrt{n + \tfrac{M}{4m}(n-1)} - 1]$.

Оригинальное условие :

PNG писал(а):

19-7. A uniform circular disk of radius $R$ and mass $M$ is arranged to spin freely with angular speed $\omega$ on a horizontal plane on a pivot $ P$ at its center. Pinned to its edge are two small masses $m$ attached by cords of length $l$ wrapped around its periphery, as shown. While the disk is spinning, these masses are released simultaneously without disturbing the angular momentum of the system. Thereupon, the small masses fly off, their restraining cords being released from hooks $H, H'$ when the cords extend radially outward. Find $l$, the length of these cords such that the disk will be stopped by the action.
Note: This scheme has been used to reduce the spinning motion of satellite vehicles.

(отличается тем, что после маневра спутник полностью останавливается).
Хочу решить оригинальную задачу. Если верить решению МИФИ и принять $n=\infty$, то и длина веревки будет $l=\infty$.
Я записал уравненя сохранения момента импульса и энергии для момента до начала маневра и момента перед полным распрямлением веревок:
\begin{cases} \omega_0 (\tfrac{1}{2}MR^2 + 2mR^2) = 0(\tfrac{1}{2}MR^2) + \omega_m[2m(R+l)^2] \\ \tfrac{1}{2}\omega_0^2 (\tfrac{1}{2}MR^2 + 2mR^2) = \tfrac{1}{2}\cdot 0(\tfrac{1}{2}MR^2) + \tfrac{1}{2}\omega_m ^2[2m(R+l)^2] \end{cases}

Решив систему, можно найти:
\begin{cases} \omega_m = \omega_0 \\ l=R(\sqrt{\tfrac{M+4m}{4m}} - 1) \end{cases}

Я прав?

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- в данном случае текст задачи точно можно было набрать, а не приводить ссылку; если решение, приведённое в книге, Вам требуется в теме, то и его бы хорошо привести не как ссылку.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: недочёты исправлены.

[pogulyat_vyshel]

$$\frac{MR^2}{2}\omega_0+2mR^2\omega_0=\frac{MR^2}{2}\omega+2v(R+l)m;$$

$$\frac{MR^2}{4}\omega_0^2+m(R\omega_0)^2=\frac{MR^2}{4}\omega^2+mv^2$$

где $v$ -- скорость грузиков в момент отрыва нити; $\omega$ -- угловая скорость диска в момент отрыва нити
$\omega_0$ -- угловая скорость диска пока грузики прижаты

думаю, что мифишное решение ошибочно

[rascas]

Uchitel'_istorii в сообщении #1290664 писал(а):

Я прав?

Ведь минимальная скорость вращения диска будет тогда, когда нити грузиков перпендикулярны диску. Тогда решение МИФИ правильное. И никогда мы не дождёмся полной остановки вращения диска.

[pogulyat_vyshel]

Мифишное решение неверно, потому, что основано на предположении о том, что в тот момент , когда нити распрямились, скорости грузиков будут такими же как скорости соответственно точек закрепления $H,H'$:

Uchitel'_istorii в сообщении #1290664 писал(а):

ижения:
$(\tfrac{MR^2}{2} + 2mR^2) \omega_0 = [\tfrac{MR^2}{2} + 2m(R+l)^2] \omega_1$

это предположение скорее всего вообще неверно, но по крайней мере, его нужно доказывать из теорем динамики.

-- 08.02.2018, 19:17 --

Uchitel'_istorii
система у вас написана правильно, решение не проверял

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291218 писал(а):

скорости грузиков будут такими же как скорости соответственно точек закрепления $H,H'$:

тут я неверно выразился, цитированная формула написана в предположении, что в момент отрыва нити угловая частота точек $H,H'$ равна угловой частоте грузиков. Это ни из чего не следует.