сравнение явной и неявной схем

[soll]

здравствуйте. Суть такова. Сравнил решения получаеющиеся при использовании явной схемы и неявой для волногового уравнения
$\frac{\partial ^2U}{\partial t^2}=a\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}$
с единичным граничным условием слева, нулевым справа и нулевым начальным распределением. Через несколько шагов по времени единичное условие слева сбрасывается в ноль. Вопрос в следующем: почему при использовании неявной схемы бегущая волна расплываеся и её амплитуда уменьшается, а при использовании явной схемы такого не происходит - амплитуда постоянная?

[thething]

Насколько я помню, копать надо в сторону ПДП (первое дифференциальное приближение). Там есть диссипативная составляющая, за счет которой высокочастотные гармоники "вымываются" именно из-за свойств разностной схемы. Точно знаю, что такая ситуация с размыванием решения в простейших схемах метода конечных разностей для волнового уравнения -- общая. Пусть знающие люди меня поправят, если что.

[gevaraweb]

Обычно неявные схемы устойчивее явных. Поэтому, скорее всего, ваша явная схема просто разваливается из-за накопления погрешностей в вычислениях. Попробуйте еще уменьшить шаг по х в явной схеме. Но может и не помочь, так как для явных схем порядку точности по времени соответствует порядок точности по х в кубе и выше.

[thething]

gevaraweb
Не, тут не в устойчивости вопрос, а в том, что по неявной схеме решение как бы уходит в ноль, хотя должны быть колебания с постоянной амплитудой. Явная схема скорее всего работает хорошо, поскольку вы берете шаги с границы области устойчивости (скорее всего -- маленькие), а вот у неявной -- экспериментируете с большими шагами

[soll]

У меня были подозрения, что это из-за наличия в схеме естественной вязкости, присущей для схем для уравнений второго порядка. А как же тогда быть? Нет такого варианта, чтобы использовать неявную схему, но и чтобы решение не расползалось?

[thething]

soll
Мне помогало использовать схемы с весами, но вообще вроде как рекомендуется применять нелинейные схемы (см. теорему С.К. Годунова)

[B@R5uk]

soll в сообщении #1290771 писал(а):

А как же тогда быть?

Подойти к вопросу с принципиально иной стороны. Решение представить в виде ряда, оборвать его на каком-нибудь члене, составить для того что получилось систему каким-нибудь разумным образом, решить её, а ответ получить в виде суммы, в которую время входит явно под какими-нибудь функциями.

Конкретно в вашем случае при таком подходе ничего численно решать не надо, всё выписывается явно аналитически. Только последний этап — подсчёт суммы ряда — потребует численного счёта. Но это не так, например, для какой-нибудь квантовой системы. Там для расчёта её эволюции бывает проще рассчитать уровни системы и выписать формулу эволюции через них.

-- 07.02.2018, 14:06 --

soll, вы отрабатываете на простой системе метод решения для какой-нибудь более сложной задачи или же просто интересуетесь вопросом?

[soll]

Вообще пытаюсь разобраться в вычислительной электродинамике, используя конечно-разностные схемы. Нашёл алгоритм Yee, переписал его схему в неявном виде, а когда стал всё проверять, оказалось, что вот так вот - волна затухает.

[thething]

soll
Попробуйте такую аппроксимацию второй производной по $x$: $\frac{1}{2}\frac{u_{m+1}^{n+1}-2u_{m}^{n+1}+u_{m-1}^{n+1}}{h^2}+\frac{1}{2}\frac{u_{m+1}^{n}-2u_{m}^{n}+u_{m-1}^{n}}{h^2}$, либо аппроксимацию с тремя слагаемыми с коэффициентами $\frac{1}{3}$, в третьей дроби берется $n-1$-й временной слой

[DeBill]

soll
Такое ощущение, что все правильно у Вас.
И - что так не бывает - это тоже правильно....

(Оффтоп)

Как выглядят водоплавающие летающие слоны? Уши у них должны быть похожи на плавники, говорит одна схема. Нет, на крылья -грит другая...

У нас имеется рассогласование граничных-начальных условий в нуле.
Так что хорошего ждать от разностных схем не приходится, ибо решение - разрывное.
Из общих соображений можно сказать: разрыв будет распространяться по характеристикам. Так что можно явно найти "нехорошие " места; вне них любая схема будет адекватно описывать процесс, но в самих этих местах нас ждет облом.
Можно попробовать "подработать" схему в таких точках, но как это делать реально - ?

(Оффтоп)

Точное решение - столбик высоты 1, растущий-убывающий по иксам от 0 до 1 со временем ....

[thething]

DeBill
То, что условия рассогласованы -- все так, но подобный эффект быстрого уменьшения амплитуды возникает и при "хорошей" постановке. В свое время столкнулся с этим на примере задачи для волнового уравнения с начальным условием $u_t(x,0)=\pi\sin{\pi{x}}$, все остальные условия нулевые, $x\in[0,1]$. Понятно, что некое затухание будет из-за погрешностей, но тут прямо совсем быстро в ноль решение уходило. Аппроксимации, которые я предложил выше, помогли с этой проблемой и лабораторку я сдал))

[DeBill]

thething в сообщении #1290905 писал(а):

но тут прямо совсем быстро в ноль решение уходило.

Вах! Такие задачи надо в обязательном порядке давать прикладникам - чтоб поддерживать правильный градус доверия к результатам численных расчетов!

[Pphantom]

А что-нибудь еще про схемы, кроме явности/неявности, известно? В идеале их было бы неплохо просто записать.