Вычислить приближённо значение интеграла.

[Карасик]

Здравствуйте.

Вычислить приближённо с точностью $ \epsilon $ значение интеграла, разлагая подинтегральную функцию в степенной ряд

$\int_{0}^{0.5} {\frac {1 - cosx} {x^2}} dx , \epsilon = 0.001$

С чего тут надо начать?

[Someone]

С разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

[Brukvalub]

После чего полезно почленно проинтегрировать этот ряд и получить оценку остатка.

[Карасик]

Значит надо для начала:
1. Найти производные (хотябы первые три).
2. Вычислить их значения при х = 0.
3. Написать ряд.

[Cervix]

Карасик писал(а):

Значит надо для начала:
1. Найти производные (хотябы первые три).
2. Вычислить их значения при х = 0.
3. Написать ряд.

Скорее:
1. Разложить в ряд. (раскладывать нужно только косинус)
2. Проинтегрировать.
3. Отбросить малый остаток ряда и просуммировать.

[Карасик]

Спасибо большое. Уже чтото выходит путное:

Разложим косинус:
$cosx = 1 - \frac {x^2} {2!}+\frac {x^4} {4!}-\frac {x^6} {6!}+\frac {x^8} {8!} - ..$

Подставим в функцию:
$\frac {1 - cosx} {x^2} = 0 + \frac {1 + \frac {x^2} {2!}} {2!} + \frac {1 - \frac {x^4} {4!}} {4!} + \frac {1 + \frac {x^6} {6!}} {6!} + ...$

Теперь это запихиваем в интеграл и начинаем почленно интегрировать....
$\int_{0}^{0.5}{(\frac {1 + \frac {x^2} {2!}} {2!} + \frac {1 - \frac {x^4} {4!}} {4!} + \frac {1 + \frac {x^6} {6!}} {6!} + ...})$

адд: придумал как немного упростить...

$\int_{0}^{0.5}({ \frac {1} {2! + x^2}+\frac {1} {4! - x^4} + \frac {1} {6! + x^6} + ... })dx$

Чтото немогу придумать как проинтегрировать такую конструкцию....

[Echo-Off]

Не, неправильно подставляете

[Карасик]

А где именно неправильно начинается?

[Someone]

А прямо со второй формулы.

[Карасик]

Хм... действительно.. вместо икс в квадрате появился факториал

адд: После всех исправлений и упрощений получается такой интеграл:

$\int_{0}^{0.5}({ \frac {2!} {(2!+x^2)x^2} + \frac {4!} {(4!+x^4)x^2} + \frac {6!} {(6!+x^6)x^2} + ... })dx$

Хм... если это правильно, то я всёравно неочень пока понимаю как проинтегрировать такое...

адд: Хотя можно наверное так сделать:

$\int_{}^{}{ \frac {2!dx} {(2!+x^2)x^2}} = \int_{}^{}{ \frac {(2!+x^2-x^2)dx} {(2!+x^2)x^2}} = \int_{}^{}{ \frac {dx} {x^2}} - \int_{}^{}{dx}$

[Brukvalub]

Нет, опять бредятину написали...

[PAV]

Запишите в виде ряда $1-\cos x$

[Карасик]

Вот для 1 - cosx....

$1-cosx = 1-1+1+ \frac {x^2} {2!} + 1 - \frac {x^4} {4!} + 1 + \frac {x^6} {6!} + ....$

Впринципе теперь можно почленно поделить на $x^2$

[TOTAL]

Карасик писал(а):

Вот для 1 - cosx....

$1-cosx = 1-1+1+ \frac {x^2} {2!} + 1 - \frac {x^4} {4!} + 1 + \frac {x^6} {6!} + ....$

Впринципе теперь можно почленно поделить на $x^2$

Сначала проверьте справедливость написанного равенства, подставив справа и слева $x=0$

[Brukvalub]

Карасик писал(а):

Вот для 1 - cosx....

$1-cosx = 1-1+1+ \frac {x^2} {2!} + 1 - \frac {x^4} {4!} + 1 + \frac {x^6} {6!} + ....$

Опять образцово-показательная бредятина. Возьмите себя в руки и сделайте, наконец, правильно!