несколько задач

[Spook]

1.Пусть $A:X\to Y$ ограниченный оператор в банаховых пространствах. Будут ли ядро и образ оператора линейными? Будут ли они замкнутыми подпространствами в X и Y cоответственно?
Интересует корректность задачи. В доказательстве у меня используется скалярное произведение и ортогональность, соответственно я решил задачу всего лишь для гильбертовых пространств. Решается ли она в произвольных банаховых пространствах? Если да, то как?

2. Пусть дана марковская цепь $\xi_i$ со значениями в $X$, а также $f=f(x): x\in X$. Будет ли марковской цепью обратная последовательность? Будет ли последовательность $f(\xi_i)$ образовывать марковскую цепь?
Я думаю что обратная последовательность не будет марковской цепью, так как следующее состояние никак не связано с предыдущими. В общем случае $f(\xi_i)$ тоже не будет марковской цепью, так как если функция константа, то все члены последовательности будут одинаковыми. Но интересно, что будет,например, в случае строго монотонной функции? Возможно подходящая функция и существует (тождественная точно подходит).

3. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла c точностью $\epsilon$.
$I=\int\limits_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx$, где $|f(x)|\leqslant Const$.
Вот что придумал:
$I=\int\limits_{1}^{M}\frac{f(x)}{1+x^2}dx+\int\limits_{M}^{\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx=I_1+C(\frac{\pi}{2}-\arctg M)$.
Далее аналитически подбираем $M$ так, чтобы выполнялось неравенство: $C(\frac{\pi}{2}-\arctg M)\leqslant\frac{\epsilon}{2}$, а $I_1$ считаем с такой же точностью по любой формуле (Симпсона, трапеций и т.д.) Так что эта задача вроде решена.

4. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла c точностью $\epsilon$.
$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx$, где $|f''(x)|\leqslant 1$.
Есть вариант избавления от особенности: заменить $\sqrt{x}=t$, тогда получится $\int\limits_{0}^{1}f(t^2)dt$, но теперь уже не понятно как избавиться от квадрата.

5. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла c точностью $\epsilon$.
$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{f(x)\sqrt{\sin (x)}}{x}dx$, где $|f''(x)|\leqslant 1$.

К этой задаче никак не могу подобраться, ни замена, ни интегрирование по частям не помогают избавиться от особенности Есть мысль разложить синус в ряд Тейлора, но тогда не понятно как проконтролировать точность при интегрировании (да еще и от корня надо избавиться).

6. Угол крена корабля $X(t)$ представляет собой нормальный случайный процесс с характеристиками $m_x=0, K_X(t,t+\tau)={\sigma}^2{\rho}_X(\tau)$. Известно, что в момент времени $t_1$ угол крена корабля составлял $X(t_1)=\alpha$ градусов. Какова вероятность того, что в момент $t_2=t_1+\tau$ угол крена будет больше, чем $\beta$ градусов?
Тут какой-то ступор, просто не понимаю с какой стороны подступиться

Извиняюсь за такое колличество задач, в такое тяжелое время - сессию. Буду рад любой помощи по любой задаче.
P.S. Если кто-нибудь знает задачники по численным методам (решаемые без ПК) , то просьба дать ссылку, хочется побольше нарешаться перед экзаменом.

[Narn]

Spook писал(а):

1.Пусть $A:X\to Y$ ограниченный оператор в банаховых пространствах. Будут ли ядро и образ оператора линейными? Будут ли они замкнутыми подпространствами в X и Y cоответственно?
Интересует корректность задачи. В доказательстве у меня используется скалярное произведение и ортогональность, соответственно я решил задачу всего лишь для гильбертовых пространств. Решается ли она в произвольных банаховых пространствах? Если да, то как?

Решается, конечно. С помощью определений, рассуждений, контрпримеров . Вы напишите свои решения поподробней.

Spook писал(а):

2. Пусть дана марковская цепь $\xi_i$ со значениями в $X$, а также $f=f(x): x\in X$. Будет ли марковской цепью обратная последовательность? Будет ли последовательность $f(\xi_i)$ образовывать марковскую цепь?
Я думаю что обратная последовательность не будет марковской цепью, так как следующее состояние никак не связано с предыдущими. В общем случае $f(\xi_i)$ тоже не будет марковской цепью, так как если функция константа, то все члены последовательности будут одинаковыми. Но интересно, что будет,например, в случае строго монотонной функции? Возможно подходящая функция и существует (тождественная точно подходит).

Насчет обращенной последовательности - хочется сказать "будет, конечно", ведь определение марковской цепи (при фиксированном настоящем будущее и прошлое независимы) симметрично. Но Вы уточните, что такое обращенная последовательность, какие там индексы (целые, натуральные), а то пока все это чуток сомнительно. Ну а $f(x)$, вообще говоря, не будет марковской цепью, но вот как раз Ваш пример и не годится. А насчет строго монотонной функции - да, только лучше сказать "биекция" ($X$ - это ведь просто множество, не упорядоченное?). Но биекциями, в том числе и тождественными, дело не ограничивается. Для начала постройте правильный контрпример.

P. S. ох, не люблю я выч. методы. Ну не лежит к ним душа, совсем

[ewert]

Spook писал(а):

5. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла c точностью $\epsilon$.
$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{f(x)\sqrt{\sin (x)}}{x}dx$, где $|f''(x)|\leqslant 1$.

К этой задаче никак не могу подобраться, ни замена, ни интегрирование по частям не помогают избавиться от особенности Есть мысль разложить синус в ряд Тейлора, но тогда не понятно как проконтролировать точность при интегрировании (да еще и от корня надо избавиться).

Стандартная проблема: недостаточная гладкость функции сбивает все оценки.

Стандартное решение: сделать замену переменных, после которой подинтегральная функция станет достаточно гладкой.

В данном случае достаточно вульгарного $t=\sqrt x$, т.е. $x=t^2$, после чего -- формулу трапеций, например.

[Spook]

Narn писал(а):

Решается, конечно. С помощью определений, рассуждений, контрпримеров . Вы напишите свои решения поподробней.

Пишу рассуждения :
линейность очевидна, но пока я ее грамотно не могу записать. Замкнутость ядра следует из легко проверяемого утверждения: $(Im} A^{*})^{\bot}=\ker A$. Теперь касательно образа: пусть $X=Y=E$ - бесконечномерное банахово пространство (может иногда верно и в конечномерном случая, но пример привести не могу ). Предположим, что образ замкнут, тогда он является банаховым пространством. Далее представляем $E$ как объединение шаров радиуса $n$ ( у каждого свой) c центрами в $0$. Тогда

$$ImA=\cup\limits_{n=0}^{\infty}AS_n(0)$$

, то есть обьединение компактных множеств (в бесконечномерном пространстве). Противоречие с теоремой Бэра, следовательно образ - незамкнутое множество.

Narn индексы по-обычному: 1.2.3.4.5, а наоборот:5,4,3,2,1. Ваши рассуждения мне не понятны: 3е состояние не зависит от 4го, а должно(в марковской цепи). Про константу понял - марковская цепь будет. Дальше не понял (пример построить не выходит).

ewert а разве эта замена что-то дает? После нее получается $0$ в знаменателе, кроме того не понятно как и в предыдущем примере, что делать c $f(t^2)$.

В последней задаче думаю не обойтись без формулы условной вероятности, но не знаю, как это здесь записать.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert а разве эта замена что-то дает? После нее получается $0$ в знаменателе, кроме того не понятно как и в предыдущем примере, что делать c $f(t^2)$.

Она делает множитель

$$2{\sqrt{\sin(t^2)}\over t}$$

после $f(t^2)$ аналитическим. Все производные легко оцениваются -- легко в принципе, но муторно технически.

--------------------------------------------------------------
Никогда не понимал, зачем нужны оценки абсолютного характера в квадратурных формулах. Разве что для морального удовлетворения. На практике они всё равно никогда не применяются.

Добавлено спустя 5 минут 17 секунд:

Spook писал(а):

, следовательно образ - незамкнутое множество.

Образ замкнут тогда и только тогда, когда обратный оператор ограничен. Это если он (обратный) существует. Если же ядро нетривиально, то в гильбертовом случае достаточно отделить его переходом к ортогональному дополнению, и вывод, в принципе, тот же. Как там в банаховом -- не помню.

[Narn]

Spook писал(а):

линейность очевидна, но пока я ее грамотно не могу записать.

Постарайтесь. Такие навыки нужно вырабатывать.

Spook писал(а):

Замкнутость ядра следует из легко проверяемого утверждения: $(Im} A^{*})^{\bot}=\ker A$.

Доказательство пригодно только для гильбертовых пространств и для банаховых рефлексивных (если Вы понимаете, что $A^{*} : Y^* \to X^*$, а $\bot$ - это уже не ортогональное дополнение, а нечто иное, более общее). Все намного проще: оператор у Вас ограниченный линейный, т. е. непрерывный. Что такое ядро? Прообраз нуля. При непрерывном отображении прообразы замкнутых множеств замкнуты (это можно даже взять за определение). Если у Вас этого не было, то рассуждайте на языке сходящихся последовательностей и предельных точек.

Spook писал(а):

Теперь касательно образа: пусть $X=Y=E$ - бесконечномерное банахово пространство (может иногда верно и в конечномерном случая, но пример привести не могу ). Предположим, что образ замкнут, тогда он является банаховым пространством. Далее представляем $E$ как объединение шаров радиуса $n$ ( у каждого свой) c центрами в $0$. Тогда

$$ImA=\cup\limits_{n=0}^{\infty}AS_n(0)$$

, то есть обьединение компактных множеств (в бесконечномерном пространстве). Противоречие с теоремой Бэра, следовательно образ - незамкнутое множество.

Лихо. То есть Вы доказали, что образ всегда незамкнут? Даже по тождественному и нулевому операторам? Они дают пример того, что образ бывает замкнут. А Вам остается привести какой-нибудь пример противоположного. Наверное, подскажу: попробуйте вложение $C[a,b]$ в $L_2[a,b]$. И найдите ошибку в своих рассуждениях.

Spook писал(а):

Narn индексы по-обычному: 1.2.3.4.5, а наоборот:5,4,3,2,1. Ваши рассуждения мне не понятны: 3е состояние не зависит от 4го, а должно(в марковской цепи). Про константу понял - марковская цепь будет. Дальше не понял (пример построить не выходит).

Цепь Маркова со значениями в $E=\{ 1, \dots, N\}$ - это последовательность случайных величин $\{X_n\}^{n=\infty}_{n=0}$ такая, что $P(X_{n+1}=j|X_0, \dots, X_n)=P(X_{n+1}=j|X_n)$ для всех $n,j$. Более наглядно: задается распределение случайной величины $X_0$. Затем система переходит из одного состояния в другое случайным образом, причем вероятность перехода определяется только тем, в каком состоянии система находится в данный момент (то есть не зависит от того, каким образом система пришла в данное состояние). То есть, если Вам скажут, что на 5 шаге система в состоянии 2, Вы сможете рассчитаь вероятность того, что на 77 шаге она будет в состоянии 121, не зная предшествующей 5 шагу истории, от нее ничего не зависит. Это и означает "при фиксированном настоящем будущее и прошлое независимы" (более точно- см. Ширяев, Вероятность). Здесь важно, что индексы меняются от 0 до бесконечности. У Вас время обращено. Тогда либо $n$ должно принимать все целые значения, либо только конечное множество значений. То есть: дайте четкое определение того, что такое обратная последовательность?

[AD]

Spook писал(а):

Теперь касательно образа: пусть $X=Y=E$ - бесконечномерное банахово пространство (может иногда верно и в конечномерном случая, но пример привести не могу Sad ). Предположим, что образ замкнут, тогда он является банаховым пространством. Далее представляем $E$ как объединение шаров радиуса $n$ ( у каждого свой) c центрами в $0$. Тогда

$$ImA=\cup\limits_{n=0}^{\infty}AS_n(0)$$

, то есть обьединение компактных множеств (в бесконечномерном пространстве). Противоречие с теоремой Бэра, следовательно образ - незамкнутое множество.

Ваше рассуждение можно обобщить.

Теорема. (Spook). Любое подпространство $F$ любого банахова пространства $E$ незамкнуто.

Действительно, пусть $F$ замкнуто. Рассмотрим последовательность множеств $F\cap S_n$, где $S_n$ --- шар радиуса $n$ с центром в нуле. Они компактны, и их объединение дает всё $F$. Противоречие с теоремой Бэра, следовательно $F$ - незамкнутое множество. $\square$

В частности, рассуждение проходит при $E=F$. То есть любое банахово пространство незамкнуто. Само в себе. Конечномерность тут ни при чем - теорема Бэра вообще верна для полных метрических пространств.

Кстати, линейность тут тоже ни при чем. Мы фактически доказали, что любое полное метрическое пространство не замкнуто.

Разберитесь с теоремой Бэра, Spook. Она утверждает совсем не то, о чем вы пишите.

[Narn]

AD писал(а):

Разберитесь с теоремой Бэра, Spook. Она утверждает совсем не то, о чем вы пишите.

И с компактностью шаров в бесконечномерных пространствах. И с тем, может ли образ быть незамкнут, если $X$ конечномерно или $Y$ конечномерно.

А насчет цепи Маркова - у Вас, видимо, конечная. Сам дал ссылку на Ширяева (добро бы на Боровкова, где сразу бесконечные цепи рассматриваются), и сам забыл.

[Spook]

Narn писал(а):

Постарайтесь. Такие навыки нужно вырабатывать.

Narn, линейность будет доказана, это в моих интересах. Но сначала обьясню другие утверждения.

Narn писал(а):

Доказательство пригодно только для гильбертовых пространств и для банаховых рефлексивных

Поэтому оно мне и не понравилось .

Narn писал(а):

(если Вы понимаете, что $A^{*} : Y^* \to X^*$, а $\bot$ - это уже не ортогональное дополнение, а нечто иное, более общее).

Никогда бы не подумал Что же это значит?

Narn писал(а):

При непрерывном отображении прообразы замкнутых множеств замкнуты (это можно даже взять за определение).

Что прообразы замкнутых множеств замкнуты (при непрерывном отображении) сомнений не вызывает, можно доказать от противного.

Narn писал(а):

рассуждайте на языке сходящихся последовательностей и предельных точек.

Вот такое решение мне очень интересно, изначально оно и предполагалось, я хотел проделать все "руками", а в дальнейшей жизни уже использовать всякие леммы и теоремы, но сходу у меня это не вышло и пришлось искать решение хотя бы через эти леммы и теоремы (как оказалось, обозначения в них могут быть "более общими" )

Narn, что касается цепей Маркова: купил книги Ширяева (2 тома), очень понравились, нашел там вывод формылы для членов последовательности Фибоначчи и еще много чего. Кстати, эта задача из первого тома, но ответов и решений там нет, а могли бы и быть - учебник как-никак Понял, что с цепями этими пока что разобрался не полностью, а именно результаты её обьяснить не могу (в частности, следущее состояние зависит от предыдущего, но ведь предыдущее от следущего нет ) хотя и оспорить тоже не могу
А последовательность здесь конечная, но разве бесконечность тут важна? Обьясните пожалуйста.

Narn писал(а):

дайте четкое определение того, что такое обратная последовательность?

Имелось ввиду: $n,n-1,n-2,...,0$.

Теперь каксательно "Spook's theorem" (AD,чуть со стула не упал ).

Narn писал(а):

И найдите ошибку в своих рассуждениях.

Ошибку нашел, имелось ввиду, что образ бесконечномерный, а не банахово пространство Теперь должно быть убедительно. Кстати, как можно вложить подпространство непрерывных функций в $L_p$? Оно же и так является его подмножеством.

AD писал(а):

Разберитесь с теоремой Бэра, Spook. Она утверждает совсем не то, о чем вы пишите.

Narn писал(а):

И с компактностью шаров в бесконечномерных пространствах. И с тем, может ли образ быть незамкнут, если $X$ конечномерно или $Y$ конечномерно.

Narn с этим пытался разобраться и пришел к выводу, что поможет только контрпример
AD, вероятно Вы подумали о другой теореме Бэра, я же в доказательство своих слов могу сослаться на книгу Городецкого. А именно теорема звучит так:
"Полное метрическое пространство есть множество второй категории".
Откуда и получено проиворечие. Так что извините .

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

quote писал(а):

Она делает множитель

$$2{\sqrt{\sin(t^2)}\over t}$$

после $f(t^2)$ аналитическим. Все производные легко оцениваются -- легко в принципе, но муторно технически.

ewert, извините, но я никак не пойму, почему так можно решить эту задачу. В формуле для оценки погрешность метода (трапеций, прямоугольников и тд) присутствует максимум модуля второй производной. Но после Вашей замены, производная неограниченна в окрестности $0$, значит квадратурную формулу применять пока нет смысла. Или я что-то не понимаю?

[Echo-Off]

Spook писал(а):

множество второй категории

И что же такое множество второй категории? Предвижу ответ: это множество не являющееся множеством первой категории. Тогда вопрос: что такое множество первой категории? Это уж никак не счётное объединение компактов

[Spook]

Echo-Off писал(а):

Тогда вопрос: что такое множество первой категории? Это уж никак не счётное объединение компактов

Кто ж с этим спорит? Существенно, что от множеств требуется "нигде неплотность".
Я ответил на Ваш вопрос?

[Narn]

1) (можно пропустить) Для любого $A \subset X$ аннулятором $A$ назовем множество всех элементов сопряженного пространства, равных нулю на $A$:

$A^{\bot}=\{f \in X^{*} | \forall x \in A f(x)=0\}$.

Для гильбертовых пространств теорема Рисса позволяет естественным образом отождествить $H$ и $H^{*}$, то есть $A$ и $A^{\bot}$ являются подмножествами $H$.

Часто значение функционала из $f \in X^{*}$ на $x \in X$ также обозначают $<f,x>$. То есть теперь $<\cdot, \cdot> : X^* \times X \to \mathbb{C}$ - билинейное отображение, первый и второй аргумент которого - элементы различных пространств. Такие отображения иногда называют спариваниями.

Все это Вам пока не нужно, так что не циклитесь на этом. Но просто знать, что такие штуки есть, не помешает.

2)О замкнутости ядра. На языке сходящихся последовательностей все тоже элементарно. Как выглядит определение замкнутого множества и непрерывного оператора? Выпишите, пожалуйста. А определение непрерывного отображения как отображения, при котором прообразы открытых множеств открыты (экв. для замкнутых) является общетопологическим и позволяет иногда сократить доказательство (аж на на 20-30 символов!). А если серьёзно, то им владеть тоже надо.

3)

Spook писал(а):

Ошибку нашел, имелось ввиду, что образ бесконечномерный, а не банахово пространство

Не понимаю. Образ, несомненно, линейное множество. Вы преположили, что он замкнут. Тогда он будет банаховым пространством. Ошибка совсем не здесь. Почему у Вас $AS_n(0)$ оказывается компактным? И как Вы используете теорему Бэра? Кстати, я обычно подлаживаюсь под чужую терминологию, но давайте все-таки называть множество второй категории тощим множеством. Тогда и сама теорема звучит великолепно: полное метрическое пространство не является тощим. То есть, сформулируйте определение тощего множества и покажите хоть одно тощее множество в Вашем доказательстве.

3) Задача: доказать, что все конечномерные линейные множества в банаховом пространстве замкнуты. (к случаю, когда $X$ или $Y$ конечномерны).

4) Если $A \subset B$, то отображение $i : A \to B$, $i : x \mapsto x$ называется вложением $A$ в $B$. Единственное отличие от тождественного оператора - в области прибытия (она шире). Вот и поставьте в соответствие каждой функции из $C[a,b]$ ее же, рассматриваемую как элемент $L_2[a,b]$. (внимание, вранье: в $L_2[a,b]$ сидят не функции, а классы эквивалентности, то есть совсем строго нужно так: $f \in C[a,b] \mapsto [f]$, где $[f]$ - это все измеримые функции, эквивалентные $f$. Но на эту тонкость обычно все чихать хотели, хотя подсознательно и учитывают).

Вот, пока хватит.

Ага, определение уже вытащили. Тогда что такое "нигде не плотность", и откуда она у Вас взялась?

[Echo-Off]

Spook писал(а):

Кто ж с этим спорит? Существенно, что от множеств требуется "нигде неплотность".
Я ответил на Ваш вопрос?

Ага, ответили. Теперь вернёмся к

Spook писал(а):

Тогда

$$ImA=\cup\limits_{n=0}^{\infty}AS_n(0)$$

, то есть обьединение компактных множеств (в бесконечномерном пространстве). Противоречие с теоремой Бэра

Где тут противоречие?

[ewert]

Spook писал(а):

ewert, извините, но я никак не пойму, почему так можно решить эту задачу. В формуле для оценки погрешность метода (трапеций, прямоугольников и тд) присутствует максимум модуля второй производной. Но после Вашей замены, производная неограниченна в окрестности $0$, значит квадратурную формулу применять пока нет смысла. Или я что-то не понимаю?

Вторая производная самой функции $f$ остаётся ограниченной (там добавляются всяческие производные от $t^2$, но это, как Вы понимаете, не принципиально). Для разных производных синуса с корнями, дробями и прочими заморочками всё тоже в порядке, т.к после замены (и с учётом коррекции дифференциала) этот дополнительный множитель становится аналитическим, притом явным.

Ну в конце концов проведите численный эксперимент -- посчитайте этот интеграл для какой-нибудь гладкой $f$ по тем же трапециям с последовательно удваивающимися количествами шагов (или там по Симпсону, или по какому-нить Гауссу -- неважно, по любой из стандартных формул). И убедитесь в том, что погрешности ведут себя ровно так, как им положено.

[Spook]

Narn
1) спасибо, прояснили - приму к сведению . Решу и этим методом, чтобы поразить препода.
2)Замкнутое множество - это такое, которое содержит предельные элементы, то есть любая сходящаяся последовательность имеет предел. Непрерывный оператор, это такой, для которого справедливо : $||Ax||\leqslant C||x||$. Ааа, я понял: нуль то у нас - замкнутое множество!!!
Что касается общетопологического отображения, то такого я не знаю, у нас не было топологических пространств, так что записать сам не смогу , но что владеть им надо уже понимаю.
3)тощие множества - это круто, надо запомнить
Echo-Off отвечу тут и на Ваш вопрос.

Narn писал(а):

Не понимаю... Почему у Вас $AS_n(0)$ оказывается компактным? И как Вы используете теорему Бэра? То есть, сформулируйте определение тощего множества и покажите хоть одно тощее множество в Вашем доказательстве.

E-бесконечномерное банахово пространство, и я могу его представить в виде объединения шаров $S_n$ радиуса $n$, с центором в точке $x=0$.Тогда $AS_n(0)$ компактно (оператор непрерывен). Но в бесконечномерном пространстве каждое компактное множество нигде не плотно (Narn вот и пример ).

Echo-Off писал(а):

Где тут противоречие?

Вот здесь:
полное нормированное пространство представлено в виде счетного объединения тощих множеств, что и противоречит теореме Бэра.

блин, футбол идет, остальное попозже допишу.