задача об авторитетах.

[eugrita]

На многих сайтах ,например здесь https://puuuk.livejournal.com/8158.html приводится один и тот же пример операции "Авторитет" как пример операции на группе или моноиде заданной таблицей Кэли

Есть недостатки по-моему этого примера. Из этой табл видим что операция
не ассоциативна $(D \cdot M) \cdot P=S \cdot P=S$
$D \cdot (M \cdot P)=D \cdot P=P$ т е задана не группа не полугруппа а группоид
С другой стороны, можно «авторитет» рассматривать как предпочтения
т.е. как не операцию а как отношение. Тогда из утверждения “У Саши и Даши авторитет Даша” cледует $S<D$ . Из утверждения “У Даши и Маши авторитет Саша” следует $D<S , M <S $
т е., нарушение транзитивности что противоречит самому понятию отношения полного или частичного порядка
Другими словами, автор конечно вправе привести в качестве примера группоид с любой операцией, но с другой стороны, назвал её словом АВТОРИТЕТ что указывает на отношение. Но на отношение оно не тянет
Если воспользоваться понятием "частичный группоид” т.е множество с заданной частично (не на всех пара) операцией то вариант более правильной табл. Кэли для отношения частичного порядка приведен ниже -табл1 и табл2 –(частичная операция)

Как лучше приведенный пример интерпретировать? Как автор в исходном варианте в качестве примера таблицы Кэли или как у меня в качестве отношения частичного порядка? (Я при этом исхожу из известного из экономики (теория потребления) понятия предпочтение, родственного понятию авторитет

[svv]

Если название операции «авторитет» хоть немножко ссылается на основное значение этого слова, тогда я не понимаю, почему эта операция бинарная. Для меня авторитет — Вы, для Вас ещё кто-то.

[grizzly]

svv в сообщении #1290267 писал(а):

Для меня авторитет — Вы, для Вас ещё кто-то.

Ну, могу предложить такой контекст. Например, спорит А с Б и они согласны чтобы их спор решила третья сторона (типа "третейский суд"). И вот для А авторитетом по какому-то вопросу является М, но для Б он не авторитет и А с Б вынуждены искать общего авторитета.

[wrest]

svv в сообщении #1290267 писал(а):

тогда я не понимаю, почему эта операция бинарная.

На вход подается два операнда.

svv в сообщении #1290267 писал(а):

Для меня авторитет — Вы,

В этом случае оба операнда -- svv, результат операции -- eugrita

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1290171 писал(а):

С другой стороны, можно «авторитет» рассматривать как предпочтения
т.е. как не операцию а как отношение. Тогда из утверждения “У Саши и Даши авторитет Даша” cледует $S<D$ . Из утверждения “У Даши и Маши авторитет Саша” следует $D<S , M <S$
т е., нарушение транзитивности что противоречит самому понятию отношения полного или частичного порядка

Мы не можем говорить о нарушении транзитивности так скоро. Если связать $A<B$ с фразами «в паре $(A,B)$ $A$ примет мнение $B$», никакого нарушения транзитивности так сразу не видно, и наоборот, при некотором допущении согласованности мнений она здесь ясно видна.

[eugrita]

svv в сообщении #1290267 писал(а):

Если название операции «авторитет» хоть немножко ссылается на основное значение этого слова, тогда я не понимаю, почему эта операция бинарная. Для меня авторитет — Вы, для Вас ещё кто-то.

я тоже так подумал. Я собственно искал задачи по теории групп понятные школьникам и найдя в интернете исходный пример подумал - вот он. Но оказалось что эта табл Кэли задает не группу

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1290171 писал(а):

Другими словами, автор конечно вправе привести в качестве примера группоид с любой операцией, но с другой стороны, назвал её словом АВТОРИТЕТ что указывает на отношение. Но на отношение оно не тянет

С частичным порядком в решётке можно связать операции $a\vee b = \sup\{a,b\}$ и $a\wedge b = \inf\{a,b\}$. Если допустить, что множество людей с отношением типа описанного выше образует решётку, можно одну из этих операций тоже звать «авторитет», как сокращение от «наименьший общий авторитет» (вторая будет «наибольший общий человек, считающих нас обоих авторитетными»). Правда, условия на решётку мне тут не видятся выполняющимися в общем случае — это просто в защиту операции.

Вообще же надо заметить, что даже то отношение, которое я описал, не обязано быть строгим порядком и может также не быть частичным порядком, если два разных человека друг другу полностью доверяют. Но предпорядком оно останется (хотя полный спектр социальных отношений и психологии способен сломать здесь и транзитивность, и даже рефлексивность — кроме того, само допущение независимости доверия от времени и других условий довольно сильно).

-- Пн фев 05, 2018 17:42:41 --

eugrita в сообщении #1290285 писал(а):

Я собственно искал задачи по теории групп понятные школьникам и найдя в интернете исходный пример подумал - вот он.

А там вроде даже сразу написано, что это не группа. Точнее, не написано, что это группа.

Попробуйте конечные группы симметрий и другие конечные группы преобразований. И вообще группа обратимых преобразований чего угодно (независимо от конечности) — это весьма такой образно нагруженный пример. Моноид даст множество вообще всех преобразований. (Каждую полугруппу можно довести до моноида, так что тут можно остановиться.)

[svv]

grizzly, отличный пример.

wrest, я немного не о том спрашивал. Конечно, я вижу, что операция определена как бинарная. Мне было непонятно, как это согласуется с обычным употреблением слова «авторитет».
Ведь фразу «Для Пети и Васи авторитет — Маша» большинство людей, наверное, поймёт так:
$\text{авторитет(Петя)=Маша}\; \wedge\; \text{авторитет(Вася)=Маша}$,
то есть и здесь операция унарная. Меня же интересовала интерпретация случаев, когда операндов принципиально два и они не совпадают. Мы ведь не чувствуем, что в высказывании «Для Пети авторитет Маша» пропущен ещё один операнд.

P.S. Или, скорее, в обычном употреблении это бинарное отношение: $\text{авторитет(Петя, Маша)}$, но тогда на выходе не будет никакой Даши, только «истина» или «ложь».