Помогите вычислить интеграл от |x|

[Echo-Off]

rar писал(а):

функция F(x) называется первообразной ..., если ... функция F(x) дифференцируема ...

1) Следует ли отсюда, что $F(x)$ непрерывна?
2) Непрерывна ли функция

$$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$

?
3) Может ли эта же функция быть чьей-то первообразной?

[rar]

Нашел.


В.А. Ильин, Э.Г. Позняк "Основы математического анализа. Часть I", 7-изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Страница 194.
Вот, вроде она: http://lib.mexmat.ru/books/8056

Добавлено спустя 6 минут 55 секунд:

Все же, возвращаясь к вопросу об интеграле

$$\int |x|dx$$

- как же его правильно проинтегрировать?

[AD]

Нет, давайте сначала разберитесь с интегралом от тождественного нуля. (см. "наводящий вопрос" и последнее сообщение Echo-Offа)

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

А когда разберетесь - возьмите выписанную вами функцию и тупо проверьте, выполняется ли для нее выписанное вами же определение первообразной.

[rar]

AD писал(а):

А когда разберетесь - возьмите выписанную вами функцию и тупо проверьте, выполняется ли для нее выписанное вами же определение первообразной.

Вы про эту функцию

$$\int |x|dx$$

говорите?

Я так понял в нуле эту функцию интегрировать нельзя.

Тогда так:

Если

$$x>0$$

, то

$$\int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$

Если

$$x<0$$

, то

$$\int |x|dx=\int (-x)dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$

Только такой у меня вариант.

[AD]

rar. В математике есть такая вещь, называется "определение".

Вот есть функция

$$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$

.
Есть функция $f(x)\equiv0$.
Есть определение - "функция $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$, если <че-то-там>".

Ответьте: выполнено ли вот это <че-то-там> для этих $F$ и $f$? Если да, то почему, если нет, то тоже почему.

[rar]

Для вашей функции, функция

$$F(x)$$

будет первообразной для функции

$$f(x)$$

если функция

$$F(x)$$

дифференцируема на

$$(-\infty, +\infty)$$

и в любой точке этого интервала, в данном случае всей числовой оси, имеет производную

$$F'(x)=f(x)$$

.

Значит при

$$x\geqslant 0$$

функция

$$F(x)=1$$

должна иметь производную

$$F'(x)=f(x)$$

, отсюда следует что при

$$x\geqslant 0$$

, функция

$$f(x)=0$$

должна быть равна

$$f(x)=F'(x)$$

, ну а

$$F'(x)=1'=0$$

значит должно быть

$$0=0$$

. И это верно! Отсюда следут, что при

$$x\geqslant 0$$

функция

$$F(x)=1$$

является первообразной для функции

$$f(x)=0$$

. Для

$$x<0$$

думаю, что

$$F(x)$$

будет первообразной для

$$f(x)=0$$

. И она будет первообразной на всей области определения. Ну значит является первообразной.

[Gordmit]

Является ли в данном случае функция $F(x)$ дифференцируемой на $(-\infty,\infty)$?

[rar]

Gordmit писал(а):

Является ли в данном случае функция $F(x)$ дифференцируемой на $(-\infty,\infty)$?

Видимо - да.

[Someone]

А может ли фунция, дифференцируемая на всей числовой оси, иметь точки разрыва?

[rar]

Someone писал(а):

А может ли фунция, дифференцируемая на всей числовой оси, иметь точки разрыва?

Нет! Значит функция не дифференцируема на всей числовой прямой. И что из этого следует? Что F(x) не является первообразно для функции f(x)? Так ведь?

[Cervix]

Так.

[rar]

Ну а теперь следует вернуться к самому предмету темы.
Как же мне, все-таки, правильно проинтегрировать этот интеграл

$$\int |x|dx$$

?

[TOTAL]

rar писал(а):

Ну а теперь следует вернуться к самому предмету темы.
Как же мне, все-таки, правильно проинтегрировать этот интеграл

$$\int |x|dx$$

?

Если знаете, как правильно интегрировать, не будь там модуля, то рассмотрите два случая, избавляясь от этого модуля.

[Алексей К.]

rar писал(а):

Если

$$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$

.

rar, мне кажется, осталось неясным, почему написанное Вами назвали нехорошо, а почти то же, отсканированное, нехорошо не назвали.
Вы написали: " если $x$ равен нулю, то некий интеграл чему-то равен".
Вы связали два совершенно несвязанных явления, типа "если наши выиграют, то кривая строго выпукла". То есть:

$$\begin{array}{rcll} x=0 &\Longrightarrow &\int 0\cdot dx=C &\mbox{~--- это неверно, в этом нет никакой логики}.\\ && \int 0\cdot dx=C& \mbox{~--- а это верно, и может быть расписано как}\\ f(x)\equiv 0 &\Longrightarrow& \int f(x){\mathrm d}x=\int 0\cdot {\mathrm d}x=C& \end{array}$$

("если функция тождественно равна нулю, то её первообразная есть произвольная константа...").

Про остальное молчу, не вмешиваюсь в процесс (да и вроде как уже почти во всём разобрались).

[AD]

rar. Решение задачи - это всегда доказательство теоремы. Теоремы о том, что то, что написано в графе "Ответ:", является правильным ответом.

Ответ вы уже знаете. Это $F_0(x)+C$, где

$$F_0(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2&,x\ge0\cr-\frac{x^2}2&,x<0\end{cases}$$

.

Докажите, что он верный. Тупо проверьте определение первообразной.

Собственно, табличка стандартных интегралов (типа там интеграл от синуса итп) так и составляется - сначала угадывается ответ, а потом считается от него производная.

Кстати, первообразная всегда единственна с точностью до константы. Хотя это могли вам и не доказывать. Так что, доказав, что $F_0(x)$ --- первообразная, вы автоматически знаете, что других решений, кроме $F_0(x)+C$, у задачи нет.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Вот в этом своем сообщении вы действовали правильно. Так держать! Только неправильно утверждали, что $F'(0)=0$.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

P.S.

rar писал(а):

Значит функция не дифференцируема на всей числовой прямой.

Звучит двусмысленно. Лучше:

rar не писал(а):

Значит функция дифференцируема не на всей числовой прямой.