2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существование собственного ортонормированного базиса
Сообщение18.06.2008, 13:59 
А как понять "Существование собственного ортонормированного базиса"????

 
 
 
 
Сообщение18.06.2008, 14:03 
Ну типа ортонормированный базис, состоящий исключительно из собственных векторов какой-нибудь матрицы (оператора).

Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).

 
 
 
 
Сообщение18.06.2008, 14:22 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).

в комплексном унитарном пространстве (конечномерном) это неверно

 
 
 
 
Сообщение18.06.2008, 14:31 
... Да, zoo прав.
$\mathbb{C}\!$лона-то я и забыл упомянуть.

 
 
 
 
Сообщение18.06.2008, 16:01 
AD писал(а):
Ну типа ортонормированный базис, состоящий исключительно из собственных векторов какой-нибудь матрицы (оператора).

Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).


Существование ортонормированного базиса из собственных векторов равносильно нормальности оператора (коммутированию с сопряженным). В частности, это верно для самосопряженных (но не только для них).

 
 
 
 
Сообщение18.06.2008, 16:06 
Аватара пользователя
Narn писал(а):
Существование ортонормированного базиса из собственных векторов равносильно нормальности оператора (коммутированию с сопряженным). В частности, это верно для самосопряженных (но не только для них).

Мальцев Основы линейной алгебры (например)

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 07:12 
Где было сказано, что рассматривается именно конечномерный случай? Даже если оператор обладает разложением единицы, это еще не означает существования собственного ортонормированного базиса. Таковой будет иметь место, если к тому же спектр оператора дискретный.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 07:17 
Agathis писал(а):
Где было сказано, что рассматривается именно конечномерный случай?
Это было угадано телепатически при анализе соседних тем автора.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 08:42 
Тогда понятно. К сожалению, смежных тем автора не изучал. И ще мне кажется, что он спросил не совсем то, что хотел. Вопрос вероятно должен был звучать, как "Что такое собственный ортонормированный базис" или "Для каких операторов такой базис существует".

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 09:59 
Думаю, он спросил так, как написано в списке вопросов к экзамену.

Ну типа там
"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
..."

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 10:07 
AD писал(а):
Думаю, он спросил так, как написано в списке вопросов к экзамену.

Ну типа там
"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
..."

Ну тогда уж так:

"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
21. Существование собственного ортонормированного базиса.
..."


(на самом деле автор, скорее всего, просто среагировал на некоторые здешние реплики).

Кстати, хоть и пустячок -- тут проскочило, будто оператор должен быть с дискретным спектром. На самом деле он должен быть компактным (плюс нормальность, конечно), а "с дискретным спектром" -- это лишь обратный к компактному (обратное, вообще говоря, неверно).

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:24 
Вот тут позвольте не согласиться, ортонормированным базисом могут обладать, например, дифференциальные операторы, которые не то что некомпактны, но всегда неограничены.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group