Помогите вычислить интеграл от |x|

[rar]

Как взять такой интеграл

$$\int |x|dx$$

?

[AD]

Раскрыть модуль ...

[rar]

Попробуем...

Если

$$x\geqslant 0$$

, то

$$\int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$

.

Если

$$x<0$$

, то

$$\int |x|dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$

.

Так что ли?

То есть:

$$\int |x|dx=\left\{ \begin{array}{l} x\geqslant 0 \Rightarrow \frac{x^2}{2}+C, \\ x<0 \Rightarrow -\frac{x^2}{2}+C. \end{array} \right.$$

[AD]

Ну, если не уверены, проверьте дифференцированием.

А еще разберитесь, как связаны в двух рассматриваемых случаях значения $C$. То есть константа ведь всего одна, а случая два.

[rar]

AD писал(а):

Ну, если не уверены, проверьте дифференцированием.

$$\left(\frac{x^2}{2}+C\right)'=x$$

$$\left(-\frac{x^2}{2}+C\right)'=-x$$

объединяя два случая, видимо, получается

$$|x|$$

AD писал(а):

А еще разберитесь, как связаны в двух рассматриваемых случаях значения $C$. То есть константа ведь всего одна, а случая два.

Вот чего не знаю, того не знаю. Не подскажите как связаны?

[AD]

Скажите, а как у вас определяется первообразная? Это ведь, наверное, непрерывная функция, да?

Добавлено спустя 50 секунд:

Да, и не забудьте производную в нуле посчитать

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

То есть, чтобы гарантировать, что вы поняли вопрос, уточню его.

Будет ли функция

$$F(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2+1,&x\ge0\cr -\frac{x^2}2,&x<0\end{cases}$$

первообразной для $f(x)=|x|$?

[rar]

Если

$$x>0 \Longrightarrow \int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$

.

Если

$$x<0 \Longrightarrow \int |x|dx=\int (-x)dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$

.

Если

$$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$

.

Да, и как вместо

$$*$$

поставить нормальную точку умножения?

[Cervix]

\cdot

[rar]

AD писал(а):

То есть, чтобы гарантировать, что вы поняли вопрос, уточню его.

Будет ли функция

$$F(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2+1,&x\ge0\cr -\frac{x^2}2,&x<0\end{cases}$$

первообразной для $f(x)=|x|$?

Думаю - да.

[worm2]

Я бы рекомендовал попробовать сначала найти какую-нибудь одну первообразную, а уже потом добавить к ней C. Т.е. ответ должен получиться примерно таким:

$$...=\left\{\begin{array}{l} F_1(x), x < 0\\ F_2(x), x \geqslant 0 \end{array}\right. + C$$

.
Если Вы уже проходили определённые интегралы и формулу Ньютона-Лейбница, могу рекомендовать искать одну первообразную как $\int\limits_0^x |t| dt$. То есть, я, конечно, уверен, что Вы и без этой подсказки её найдёте, но, мне кажется, так будет более понятно: нужно рассмотреть 2 разных табличных определённых интеграла.

[AD]

Цитата:

Если

$$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$

.

Ух ты, какая глупость.

Чтобы понятно было, почему это глупость - вот аналогичное рассуждение. Пусть $f(x)=x$. Тогда $f(0)=0$, и, следовательно, $f'(0)=0$.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Итак, если хотите разобраться - дайте определение первообразной.

Цитата:

Думаю - да.

Наводящий вопрос: а будет ли функция

$$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$

первообразной для $f(x)\equiv0$?

[rar]

AD писал(а):

Ух ты, какая глупость.

Могу с учебника В.С. Шипачева "Основы высшей математики" эту глупость отсканировать...

Определение первообразной: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если в любой точке x интервала (a, b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F'(x), равную f(x) [F'(x)=f(x)].

[AD]

rar писал(а):

Могу с учебника В.С. Шипачева "Основы высшей математики" эту глупость отсканировать...

Давайте. Интересно посмотреть, что пишут в книжках с таким названием.

[worm2]

Будьте добры, отсканируйте, пожалуйста. Если это действительно так, не стоит ли сжечь эту книгу, как идеологически вредную?

[rar]

Извиняюсь, я перепутал, это не в учебнике Шипачева.
Просто у меня на бумажке это переписано, а значит, я это откуда-то списал. Сейчас даже вспомнить не могу. Если вспомню то скажу.

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

Я уже сам запутался. Так видимо я и не смогу взять тот интеграл о котором я говорил выше...