2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите вычислить интеграл от |x|
Сообщение23.06.2008, 17:16 
Как взять такой интеграл $$\int |x|dx$$?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 17:24 
Раскрыть модуль ...

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 17:30 
Попробуем...

Если $$x\geqslant 0$$, то $$\int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$.

Если $$x<0$$, то $$\int |x|dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$.

Так что ли?

То есть:

$$\int |x|dx=\left\{ \begin{array}{l}
x\geqslant 0 \Rightarrow \frac{x^2}{2}+C, \\
x<0 \Rightarrow -\frac{x^2}{2}+C.
\end{array} \right.$$

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 17:50 
Ну, если не уверены, проверьте дифференцированием.

А еще разберитесь, как связаны в двух рассматриваемых случаях значения $C$. То есть константа ведь всего одна, а случая два.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 17:58 
AD писал(а):
Ну, если не уверены, проверьте дифференцированием.


$$\left(\frac{x^2}{2}+C\right)'=x$$
$$\left(-\frac{x^2}{2}+C\right)'=-x$$

объединяя два случая, видимо, получается $$|x|$$

AD писал(а):
А еще разберитесь, как связаны в двух рассматриваемых случаях значения $C$. То есть константа ведь всего одна, а случая два.


Вот чего не знаю, того не знаю. Не подскажите как связаны?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:04 
Скажите, а как у вас определяется первообразная? Это ведь, наверное, непрерывная функция, да?

Добавлено спустя 50 секунд:

Да, и не забудьте производную в нуле посчитать ;)

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

То есть, чтобы гарантировать, что вы поняли вопрос, уточню его.

Будет ли функция $$F(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2+1,&x\ge0\cr
-\frac{x^2}2,&x<0\end{cases}$$ первообразной для $f(x)=|x|$?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:11 
Если $$x>0 \Longrightarrow \int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$.

Если $$x<0 \Longrightarrow \int |x|dx=\int (-x)dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$.

Если $$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$.

Да, и как вместо $$*$$ поставить нормальную точку умножения?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:18 
Аватара пользователя
\cdot

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:19 
AD писал(а):
То есть, чтобы гарантировать, что вы поняли вопрос, уточню его.

Будет ли функция $$F(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2+1,&x\ge0\cr
-\frac{x^2}2,&x<0\end{cases}$$ первообразной для $f(x)=|x|$?


Думаю - да.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:23 
Аватара пользователя
Я бы рекомендовал попробовать сначала найти какую-нибудь одну первообразную, а уже потом добавить к ней C. Т.е. ответ должен получиться примерно таким:
$$...=\left\{\begin{array}{l}
F_1(x), x < 0\\
F_2(x), x \geqslant 0
\end{array}\right. + C$$.
Если Вы уже проходили определённые интегралы и формулу Ньютона-Лейбница, могу рекомендовать искать одну первообразную как $\int\limits_0^x |t| dt$. То есть, я, конечно, уверен, что Вы и без этой подсказки её найдёте, но, мне кажется, так будет более понятно: нужно рассмотреть 2 разных табличных определённых интеграла.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:36 
Цитата:
Если $$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$.
Ух ты, какая глупость.

Чтобы понятно было, почему это глупость - вот аналогичное рассуждение. Пусть $f(x)=x$. Тогда $f(0)=0$, и, следовательно, $f'(0)=0$.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Итак, если хотите разобраться - дайте определение первообразной.

Цитата:
Думаю - да.
Наводящий вопрос: а будет ли функция $$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$ первообразной для $f(x)\equiv0$?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:04 
AD писал(а):
Ух ты, какая глупость.

Могу с учебника В.С. Шипачева "Основы высшей математики" эту глупость отсканировать...

Определение первообразной: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если в любой точке x интервала (a, b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F'(x), равную f(x) [F'(x)=f(x)].

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:07 
rar писал(а):
Могу с учебника В.С. Шипачева "Основы высшей математики" эту глупость отсканировать...
Давайте. Интересно посмотреть, что пишут в книжках с таким названием.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:07 
Аватара пользователя
Будьте добры, отсканируйте, пожалуйста. Если это действительно так, не стоит ли сжечь эту книгу, как идеологически вредную?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:19 
Извиняюсь, я перепутал, это не в учебнике Шипачева.
Просто у меня на бумажке это переписано, а значит, я это откуда-то списал. Сейчас даже вспомнить не могу. Если вспомню то скажу.

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

Я уже сам запутался. Так видимо я и не смогу взять тот интеграл о котором я говорил выше...

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group