2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:20 
есть вопросы по поводу решения системы. но по порядку.
дано уравнение
$x^2-(a+1)x+a+4=0$
При каких $a$ корни отрицательны?

заменил для удобства
$z=a+1$
Тогда
$x^2-zx+z+3=0$
Я понимаю надо, чтобы дискриминант был больше нуля? а корни отрицательные.
Получиться система из трех уравнений.
$$
\left\{
\aligned
 z^2 -4z-12\geqslant{0}\\
 z+\sqrt{z^2 -4z-12}<0,\\
 z-\sqrt{z^2 -4z-12}<0
\endaligned\right.\eqno 
$$

можно ли возвести в квадрат второе и третье уравнение?
или здесь надо разбить на положительную и отрицательную составляющие z?

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:24 
Аватара пользователя
А не проще графически решить, записав $x^2=(a+1)x-a-4$

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:39 
thething
спасибо я понял идею, то есть после записи уравнения можно почти сразу сказать что только при $a=-1$?
я почему то сегодня туго соображаю и поторопился, сейчас решу

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:43 
Аватара пользователя
Есть теорема Виета.
Когда оба корня отрицательны, что можно сказать про их сумму и произведение?

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:44 
Аватара пользователя
Сразу ясно, что $a+1<0$, а далее Вам надо эту прямую всячески крутить и перемещать, чтобы было 2 общие точки с параболой. Для начала можно найти такое $a$, при котором решение единственно и именно отрицательно, а потом от данной прямой смотреть. Графики при этом очень сильно помогают

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 11:48 
eugensk
значит произведение положительно, а сумма отрицательна
thething
мне надо немного времени, спасибо вам

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 15:39 
Аватара пользователя
Ivan 09
Если захотите воспользоваться теоремой Виета, то не забудьте потребовать дополнительно, чтобы было $D>0$, иначе при некоторых $a$ получите пару комплексных корней, удовлетворяющих Вашему условию
Ivan 09 в сообщении #1289384 писал(а):
значит произведение положительно, а сумма отрицательна

 
 
 
 Re: При каких a корни отрицательны
Сообщение02.02.2018, 16:57 
Ivan 09 в сообщении #1289371 писал(а):
можно ли возвести в квадрат второе и третье уравнение?

Можно. Только делать это надо аккуратно...
Во втором: оставить корень слева. Это сразу даст отрицательность $z$. Тогда: третье надо просто выбросить, а вот второе теперь можно возвести в квадрат.
А вообще, для таких задач более эффективным является геометрическое описание условий задачи в терминах "вершина параболы", и т.п. Например, у Вас: отрицательность обоих корней означает: неотрицательность дискриминанта, "вершина - слева", "в нуле - положительное значение". Видим, что это - ровно то, что получено при решении Вашей системы....

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group