Зависимость x(t) через v(x)

[arseniiv]

Rusit8800
Ну так ещё интерполяция есть, ё-моё. Мир численных методов многогранен и необозрим. Численным интегрированием получаем сколько-то точек, интерполируем по ним функцию, представляем обратную (зависит от способа интерполяции, конечно).

Если интересно, попробуйте получить алгоритм вычисления в заданной точке функции, обратной к заданной (множеством точек излома) кусочно-линейной (оптимизировать не обязательно, а вот сформулировать проверку обратимости стоит).

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1289190 писал(а):

Правильно ли я понимаю критерий возможности решения задачи аналитически?

Не очень понятно, что вы понимаете под "возможностью решения аналитически". Если "выразимость через элементарные функции с помощью арифметики и композиции" - то нет. Решение $f(x) = \int\limits_0^x e^{t^2}\, dt$ элементарн раскладывается в ряд Тейлора (и он сходится везде), но $f$ через элементарные не выражается.

Rusit8800 в сообщении #1289190 писал(а):

Можно ли всегда найти решение моей задачи через бесконечный ряд?

Ряды бывают разные:) Если скажем $v$ раскладывается в ряд Тейлора в окрестности $x_0$ и не равна нулю ни в какой точке этой окрестности (а если равна, то интеграл до этой точки всё равно расходится), то можно разложить и $\frac{1}{v}$ в той же окрестности, почленно проинтегрировать и воспользоваться теоремой Лагранжа об обращении (тут могут понадобиться еще какие-то условия, которые я забыл). Коэффициенты ряда для $\frac{1}{v}$ правда могут получиться неприятными, а после теоремы Лагранжа получится что-то совсем нечеловеческое, но теоретически это работает.

Rusit8800 в сообщении #1289256 писал(а):

А разве поможет в моем случае численное интегрирование?

Мы хотим определить, например, где будет точка в момент $t_1$. Для простоты считаем $v$ положительной - тогда нам надо просто решить уравнение $t(x) = t_1$, где левая часть монотонно возрастает и численно считается.

[wrest]

Rusit8800
Я имел в виду, что когда мы численно вычисляем определенный интеграл, мы складываем площади маленьких прямоугольничков (ну или трапеций и т.п. - это уже детали) и если мы идем от нижнего предела интегрирования к верхнему, то по дороге мы получаем и все промежуточные величины этого интеграла, то есть строим таблицу (или график) зависимости величины нашего определенного интеграла от его верхнего предела интегрирования, так что по ходу интегрирования получаем нужную нам функцию $t(x)$, заданную в табличной форме.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1289256 писал(а):

полностью заменяется на число, тогда все выражения с $x$, естественно, пропадают, и мы получим уравнение $t=t_0+$ какое-то число. Из этого выражения не получится выражения $x(t)$, поскольку в нем вообще нет $x$.

Для одного значения $x$ интеграл заменяется на одно число. Получаем точку на графике или строчку в таблице. Для другого значения $x$ получаем другое число - еще одна точка или строчка. Так можно повторять, пока не наберется достаточное FAPP количество точек/строчек.