Сумма пяти наименьших делителей

[Ktina]

Сумма пяти наименьших натуральных делителей некоторого натурального числа равна 22. На сколько нулей может оканчиваться это число?

[Yadryara]

Совсем детская. Не может такое число заканчиваться на ноль. Полагаю, kotenok gav сможет объяснить почему. Если нет, тогда придётся самому.

[Cash]

Yadryara в сообщении #1289331 писал(а):

Не может такое число заканчиваться на ноль.

Yadryara, вы часом про единицу не забыли?

[Yadryara]

Cash, не забыл, конечно.

[eugensk]

Yadryara в сообщении #1289331 писал(а):

Не может такое число заканчиваться на ноль

А $2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 5$?

Всё, я понял, разных конечно же.

[Cash]

1, 2, 4, 5, 10 - какие проблемы?

[Yadryara]

Cash

Cash в сообщении #1289336 писал(а):

1, 2, 4, 5, 10 - какие проблемы?

Ну Вы даёте! Если данное число делится и на 2 и на 4, то оно делится и на 8. А 8 меньше 10-ти!

[Cash]

Yadryara в сообщении #1289337 писал(а):

Если данное число делится и на 2 и на 4, то оно делится и на 8.

20?

[Yadryara]

Да, это не Вы, это я даю. 20-ка — единственное подходящее число с одним нулем.

[Cash]

Yadryara в сообщении #1289341 писал(а):

20-ка — единственное подходящее число с одним нулем

220?
На всякий случай и про 100 сразу скажу.

[Yadryara]

Да, чего-то я поторопился, извините.

И с одним нулём на конце бесконечно много подходящих чисел, и с двумя. А вот с тремя уже нет ни одного из-за той самой 8-ки.

И задача не такая уж детская, больше внимательности требует.

[Cash]

Да не, детская. Просто вы не проснулись С каждым бывает...

[Ktina]

Про число 56 все молчат...

[Yadryara]

Молчат, потому что это тривиально.

Впрочем, я, как провинившийся, могу расписать решение. 7-летнему сыну покажу.

Каково количество разбиений числа $22$ на $5$ различных натуральных слагаемых? Поскольку единица обязательно входит в такой набор, число вариантов сокращается до $11$. При этом самое большое число в наборе не меньше $7$.

А если число делится и на $2$, и на $3$, то оно делится и на $6$. И наоборот, если число делится на $6$, то оно делится и на $2$, и на $3$. То есть либо в разбиении участвуют все три числа $2$, $3$ и $6$, либо только $2$ или только $3$. Стало быть, пока остаются $4$ варианта:

$1+2+3+6+10 = 22$

$1+2+4+5+10 = 22$

$1+2+4+7+ 8 = 22$

$1+3+4+5+ 9 = 22$

Но если число делится на $4$, то оно делится и на $2$. А если число делится на $10$, то оно делится и на $5$.То есть четвёрка не может входить в разбиение без двойки, а десятка без пятёрки. И остаются всего $2$ варианта:

$1+2+4+5+10 = 22$

$1+2+4+7+ 8 = 22$

Про первый вариант уже поговорили, а второй даёт бесконечную серию: $56, 112, 224, 392, ...$

[A.Edem]

Yadryara в сообщении #1289626 писал(а):

$1+2+4+7+ 8 = 22$

Теперь наверно я не с той ноги встал
Так как мне кажется этот последний пример не подходящим изначально под условия.
У нас спрашивают, сколько нолей может быть в конце искомого числа. Значит какое-то число оканчивается, допустим, на один ноль, а из этого следует, что наименьшие делители, которые в любом случае войдут в требуемую пятёрку, это будут 1, 2 и 5
Отсюда заключаем, что возможные пятёрки будут только лишь такие:
$1+2+4+5+10$ и
$1+2+5+6+8$.