Комплексные ряды и последовательности

[Infer57]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами

1) Нужно определить при каких комплексных $a$ сходится последовательность ${z}_{n} = \left\lbrace n{a}^{n}\right\rbrace$. Мои рассуждения: последовательность будет сходиться, если будет иметь конечный предел. Я рассмотрел три случая:
$\left\lvert a\right\rvert < 1, тогда \lim\limits_{n\to \infty}^{} n{a}^{n} = 0$
$\left\lvert a\right\rvert > 1, тогда \lim\limits_{n\to \infty}^{} n{a}^{n} = \infty$
$\left\lvert a\right\rvert = 1, тогда \lim\limits_{n\to \infty}^{} n{a}^{n} = \infty$
Т.е. последовательность сходится при $\left\lvert a\right\rvert < 1$. Но я не до конца уверен, что это верное решение. Укажите, пожалуйста, на неточности.

2) Нужно доказать, что последовательность $\left\lbrace \frac{a}{{1}^{4}}+...+\frac{{a}^{n}}{{n}^{4}}\right\rbrace (\left\lvert a\right\rvert > 1)$ сходится и найти её предел.

Т.к. $\left\lvert a\right\rvert > 1, тогда \lim\limits_{n\to \infty}^{} \frac{{a}^{n}}{{n}^{4}} = \infty$.
Для того чтобы показать, что последовательность сходится, я подумал, что нужно показать, что она ограничена, но никак не могу подступиться. Прошу направить или подсказать.

[svv]

2) Вы, фактически, доказали обратное: последовательность неограничена. В условии ошибка.

[thething]

1. Достаточно рассмотреть последовательность $\left\lvert{z_n}\right\rvert$, что Вы и сделали
2. У вас тут последовательность частичных сумм, поэтому достаточно исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k^4}$. Можно использовать признак Даламбера. Как верно заметили выше, сходимость будет при $\left\lvert{a}\right\rvert<{1}$, отдельно надо рассмотреть случай $\left\lvert{a}\right\rvert=1$

[Infer57]

Во втором, если $\left\lvert a\right\rvert = 1$, то ряд сходится, как ряд Дирихле (показатель больше единицы), так?

[thething]

Infer57 в сообщении #1289320 писал(а):

Во втором, если $\left\lvert a\right\rvert = 1$, то ряд сходится, как ряд Дирихле (показатель больше единицы), так?

Формально надо учесть, что $a$ -- все-таки комплексное число и представить его в тригонометрической форме, а затем разбить исходный ряд на два и исследовать их по отдельности

-- 02.02.2018, 08:40 --

Экспоненциальная форма тоже подойдет

[Otta]

Да не, зачем. Абсолютной сходимости вполне достаточно.

[thething]

(Оффтоп)

Otta
Вы правы, как всегда)

-- 02.02.2018, 08:52 --

Это я так, перестраховаться, там рядом и примеры на условную сходимость идут)