Лиса, Утка и озеро.

[grizzly]

В общем, чтоб не спорить с двух рук, ставлю на Geen

[Dmitriy40]

grizzly
Geen
Во всей внутренней области маленького квадрата утка может оставаться на противоположной (относительно центра) от лисы стороне озера с углом на лису в 180° бесконечно долго. При любом малом отклонении лисы в любую сторону от угла 180° утка имеет резерв угловой скорости чтобы вернуть угол к 180°. С этим хоть согласны? На границу внутреннего квадрата утка выходит в пределе.
Рассмотрим любое положение лисы на стороне кроме угла. Утка всегда может поддерживать угол на лису бесконечно близко к 180°, причём как снизу, так и сверху. Так как утка находится с другой стороны относительно центра от лисы, последняя пытается куда-то бежать. Но куда бы она не бежала, утка может оставаться с той стороны прямой лиса-центр, которая заставляет лису продолжать бежать в том же направлении. Вплоть до попадания в угол. В этот момент утка имеет возможность оказаться в своём углу (асимптотически). Всё, начальное положение достигнуто.
При движении по зеленой траектории угол на лису лишь уменьшается, никогда не переходя через 180° - лиса никогда не разворачивается.
Построение маленького квадрата (фигуры безопасности) абсолютно аналогично построению для круга: строим прямую лиса-центр, отмеряем в противоположную от лисы сторону от центра величину в $k$ раз меньшую расстоянию от лисы до центра. В принципе можно взять любое положение лисы, построить положение утки, взять бесконечно малое смещение лисы по берегу и построить смещение утки с угловой скоростью лисы как можно дальше от центра в противоположную сторону от смещения лисы (для сохранения развёрнутого угла на лису). Повторив для всех точек берега получим маленький квадрат для утки.
Расписывать дискретные шаги лень. Тем более шаг надо поменьше процента пожалуй, т.е. понадобится сотни две шагов ... лень.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289298 писал(а):

Тем более шаг надо поменьше процента пожалуй

Да нет - я вроде бы достаточно удобные числа предложил.
Итак, Ваш ход?

-- 02.02.2018, 01:56 --

Dmitriy40 в сообщении #1289298 писал(а):

Так как утка находится с другой стороны относительно центра от лисы, последняя пытается куда-то бежать.

Кстати, очень странное предположение.

Dmitriy40 в сообщении #1289298 писал(а):

Но куда бы она не бежала, утка может оставаться с той стороны прямой лиса-центр, которая заставляет лису продолжать бежать в том же направлении.

Ещё более странное утверждение.

[Dmitriy40]

Да, чтобы совсем уж не вляпываться в дискретность, помнится есть какое-то взаимно однозначное преобразование, превращающее окружность в квадрат, для которого она является вписанной. Натравливаем это преобразование на известную спираль утки для круга - получаем траекторию утки для квадрата с выходом в любую точку квадрата, в том числе в угол. Собственно и всё.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289300 писал(а):

Собственно и всё.

А ход где?...

[Dmitriy40]

Geen в сообщении #1289299 писал(а):

Ещё более странное утверждение.

Озвучьте стратегию лисы? Я исходил из минимизации угла между радиус-векторами на утку и на лису; если угол точно равен 180°, то в любую сторону.

Geen в сообщении #1289301 писал(а):

А ход где?...

Зачем ход если я привёл аналитическое доказательство (хоть и на словах)?

-- 02.02.2018, 02:03 --

Если ну очень хотите - напишу программку на сетке 20000х20000 с ходами лисы в 11 единиц и утки в 2 единицы (т.е. $k=5{,}5$) или даже $k=29/5=5{,}8$. Только укажите любое начальное положение лисы и её точную стратегию.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289303 писал(а):

Зачем ход если я привёл аналитическое доказательство (хоть и на словах)?

Ну кто знает - может быть Вы что-то не то доказывали.

Dmitriy40 в сообщении #1289303 писал(а):

Только укажите любое начальное положение лисы

Так Вы и укажите, самое худшее для лисы на Ваш взгляд.

[Dmitriy40]

Geen в сообщении #1289304 писал(а):

Так Вы и укажите, самое худшее для лисы на Ваш взгляд.

Я не вижу никаких худших позиций для лисы, утка всегда может привести лису в угол, причём сама при этом тоже оказавшись в своём углу. В пределе/асимптотически, разумеется.
Ок, щас напишу, в варианте 29 шагов лисы и 5 шагов утки, $k=5{,}8$, так интереснее. Правда сетку возможно придётся взять и побольше. Стратегия лисы устраивает?

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289305 писал(а):

Стратегия лисы устраивает?

нет, конечно - я же писал - не обижайте лису

-- 02.02.2018, 02:19 --

Geen в сообщении #1289126 писал(а):

Всё-таки, других кандидатов пока нет.

Кстати, был неправ - необходимо учитывать переключение стратегий лисы.

[Dmitriy40]

Geen в сообщении #1289306 писал(а):

нет, конечно - я же писал - не обижайте лису

Я так и не дождался от Вас другой стратегии для лисы.

Программу написал, вот лог шагов утки и лисы по сетке 4000х4000, лиса шагает на 29 ячеек, утка на 5, $k=5{,}8$. Начало: утка в центре, лиса на бесконечно мало правее середины стороны, s - пройденный путь (пока не нужен).

(Многа букв!)

U:x=0,y=0,s=0; L:x=1,y=-2000,s=0
U:x=0,y=5,s=5; L:x=30,y=-2000,s=29
U:x=0,y=10,s=10; L:x=59,y=-2000,s=58
U:x=0,y=15,s=15; L:x=88,y=-2000,s=87
U:x=0,y=20,s=20; L:x=117,y=-2000,s=116
U:x=0,y=25,s=25; L:x=146,y=-2000,s=145
U:x=0,y=30,s=30; L:x=175,y=-2000,s=174
U:x=0,y=35,s=35; L:x=204,y=-2000,s=203
U:x=0,y=40,s=40; L:x=233,y=-2000,s=232
U:x=0,y=45,s=45; L:x=262,y=-2000,s=261
U:x=-5,y=45,s=50; L:x=291,y=-2000,s=290
U:x=-5,y=50,s=55; L:x=320,y=-2000,s=319
U:x=-5,y=55,s=60; L:x=349,y=-2000,s=348
U:x=-5,y=60,s=65; L:x=378,y=-2000,s=377
U:x=-10,y=60,s=70; L:x=407,y=-2000,s=406
U:x=-10,y=65,s=75; L:x=436,y=-2000,s=435
U:x=-10,y=70,s=80; L:x=465,y=-2000,s=464
U:x=-15,y=70,s=85; L:x=494,y=-2000,s=493
U:x=-15,y=75,s=90; L:x=523,y=-2000,s=522
U:x=-15,y=80,s=95; L:x=552,y=-2000,s=551
U:x=-20,y=80,s=100; L:x=581,y=-2000,s=580
U:x=-20,y=85,s=105; L:x=610,y=-2000,s=609
U:x=-25,y=85,s=110; L:x=639,y=-2000,s=638
U:x=-25,y=90,s=115; L:x=668,y=-2000,s=667
U:x=-30,y=90,s=120; L:x=697,y=-2000,s=696
U:x=-30,y=95,s=125; L:x=726,y=-2000,s=725
U:x=-30,y=100,s=130; L:x=755,y=-2000,s=754
U:x=-35,y=100,s=135; L:x=784,y=-2000,s=783
U:x=-35,y=105,s=140; L:x=813,y=-2000,s=812
U:x=-40,y=105,s=145; L:x=842,y=-2000,s=841
U:x=-40,y=110,s=150; L:x=871,y=-2000,s=870
U:x=-45,y=110,s=155; L:x=900,y=-2000,s=899
U:x=-45,y=115,s=160; L:x=929,y=-2000,s=928
U:x=-50,y=115,s=165; L:x=958,y=-2000,s=957
U:x=-55,y=115,s=170; L:x=987,y=-2000,s=986
U:x=-55,y=120,s=175; L:x=1016,y=-2000,s=1015
U:x=-60,y=120,s=180; L:x=1045,y=-2000,s=1044
U:x=-60,y=125,s=185; L:x=1074,y=-2000,s=1073
U:x=-65,y=125,s=190; L:x=1103,y=-2000,s=1102
U:x=-65,y=130,s=195; L:x=1132,y=-2000,s=1131
U:x=-70,y=130,s=200; L:x=1161,y=-2000,s=1160
U:x=-75,y=130,s=205; L:x=1190,y=-2000,s=1189
U:x=-75,y=135,s=210; L:x=1219,y=-2000,s=1218
U:x=-80,y=135,s=215; L:x=1248,y=-2000,s=1247
U:x=-80,y=140,s=220; L:x=1277,y=-2000,s=1276
U:x=-85,y=140,s=225; L:x=1306,y=-2000,s=1305
U:x=-90,y=140,s=230; L:x=1335,y=-2000,s=1334
U:x=-90,y=145,s=235; L:x=1364,y=-2000,s=1363
U:x=-95,y=145,s=240; L:x=1393,y=-2000,s=1392
U:x=-100,y=145,s=245; L:x=1422,y=-2000,s=1421
U:x=-100,y=150,s=250; L:x=1451,y=-2000,s=1450
U:x=-105,y=150,s=255; L:x=1480,y=-2000,s=1479
U:x=-110,y=150,s=260; L:x=1509,y=-2000,s=1508
U:x=-110,y=155,s=265; L:x=1538,y=-2000,s=1537
U:x=-115,y=155,s=270; L:x=1567,y=-2000,s=1566
U:x=-120,y=155,s=275; L:x=1596,y=-2000,s=1595
U:x=-120,y=160,s=280; L:x=1625,y=-2000,s=1624
U:x=-125,y=160,s=285; L:x=1654,y=-2000,s=1653
U:x=-130,y=160,s=290; L:x=1683,y=-2000,s=1682
U:x=-130,y=165,s=295; L:x=1712,y=-2000,s=1711
U:x=-135,y=165,s=300; L:x=1741,y=-2000,s=1740
U:x=-140,y=165,s=305; L:x=1770,y=-2000,s=1769
U:x=-145,y=165,s=310; L:x=1799,y=-2000,s=1798
U:x=-145,y=170,s=315; L:x=1828,y=-2000,s=1827
U:x=-150,y=170,s=320; L:x=1857,y=-2000,s=1856
U:x=-155,y=170,s=325; L:x=1886,y=-2000,s=1885
U:x=-160,y=170,s=330; L:x=1915,y=-2000,s=1914
U:x=-160,y=175,s=335; L:x=1944,y=-2000,s=1943
U:x=-165,y=175,s=340; L:x=1973,y=-2000,s=1972
U:x=-170,y=175,s=345; L:x=2000,y=-1998,s=2001
U:x=-170,y=170,s=350; L:x=2000,y=-1969,s=2030
U:x=-170,y=170,s=350; L:x=2000,y=-1940,s=2059
U:x=-170,y=165,s=355; L:x=2000,y=-1911,s=2088
U:x=-170,y=165,s=355; L:x=2000,y=-1882,s=2117
U:x=-170,y=160,s=360; L:x=2000,y=-1853,s=2146
U:x=-170,y=160,s=360; L:x=2000,y=-1824,s=2175
U:x=-175,y=160,s=365; L:x=2000,y=-1795,s=2204
U:x=-175,y=160,s=365; L:x=2000,y=-1766,s=2233
U:x=-175,y=155,s=370; L:x=2000,y=-1737,s=2262
U:x=-175,y=155,s=370; L:x=2000,y=-1708,s=2291
U:x=-175,y=150,s=375; L:x=2000,y=-1679,s=2320
U:x=-175,y=150,s=375; L:x=2000,y=-1650,s=2349
U:x=-175,y=145,s=380; L:x=2000,y=-1621,s=2378
U:x=-175,y=145,s=380; L:x=2000,y=-1592,s=2407
U:x=-175,y=140,s=385; L:x=2000,y=-1563,s=2436
U:x=-175,y=140,s=385; L:x=2000,y=-1534,s=2465
U:x=-175,y=135,s=390; L:x=2000,y=-1505,s=2494
U:x=-175,y=135,s=390; L:x=2000,y=-1476,s=2523
U:x=-175,y=130,s=395; L:x=2000,y=-1447,s=2552
U:x=-175,y=130,s=395; L:x=2000,y=-1418,s=2581
U:x=-175,y=125,s=400; L:x=2000,y=-1389,s=2610
U:x=-175,y=125,s=400; L:x=2000,y=-1360,s=2639
U:x=-175,y=120,s=405; L:x=2000,y=-1331,s=2668
U:x=-180,y=120,s=410; L:x=2000,y=-1302,s=2697
U:x=-180,y=120,s=410; L:x=2000,y=-1273,s=2726
U:x=-180,y=115,s=415; L:x=2000,y=-1244,s=2755
U:x=-180,y=115,s=415; L:x=2000,y=-1215,s=2784
U:x=-180,y=110,s=420; L:x=2000,y=-1186,s=2813
U:x=-185,y=110,s=425; L:x=2000,y=-1157,s=2842
U:x=-190,y=110,s=430; L:x=2000,y=-1128,s=2871
U:x=-195,y=110,s=435; L:x=2000,y=-1099,s=2900
U:x=-200,y=110,s=440; L:x=2000,y=-1070,s=2929
U:x=-205,y=110,s=445; L:x=2000,y=-1041,s=2958
U:x=-210,y=110,s=450; L:x=2000,y=-1012,s=2987
U:x=-215,y=110,s=455; L:x=2000,y=-983,s=3016
U:x=-220,y=110,s=460; L:x=2000,y=-954,s=3045
U:x=-220,y=105,s=465; L:x=2000,y=-925,s=3074
U:x=-225,y=105,s=470; L:x=2000,y=-896,s=3103
U:x=-230,y=105,s=475; L:x=2000,y=-867,s=3132
U:x=-230,y=100,s=480; L:x=2000,y=-838,s=3161
U:x=-235,y=100,s=485; L:x=2000,y=-809,s=3190
U:x=-240,y=100,s=490; L:x=2000,y=-780,s=3219
U:x=-240,y=95,s=495; L:x=2000,y=-751,s=3248
U:x=-245,y=95,s=500; L:x=2000,y=-722,s=3277
U:x=-245,y=90,s=505; L:x=2000,y=-693,s=3306
U:x=-245,y=85,s=510; L:x=2000,y=-664,s=3335
U:x=-250,y=85,s=515; L:x=2000,y=-635,s=3364
U:x=-250,y=80,s=520; L:x=2000,y=-606,s=3393
U:x=-255,y=80,s=525; L:x=2000,y=-577,s=3422
U:x=-255,y=75,s=530; L:x=2000,y=-548,s=3451
U:x=-255,y=70,s=535; L:x=2000,y=-519,s=3480
U:x=-260,y=70,s=540; L:x=2000,y=-490,s=3509
U:x=-260,y=65,s=545; L:x=2000,y=-461,s=3538
U:x=-260,y=60,s=550; L:x=2000,y=-432,s=3567
U:x=-265,y=60,s=555; L:x=2000,y=-403,s=3596
U:x=-265,y=55,s=560; L:x=2000,y=-374,s=3625
U:x=-265,y=50,s=565; L:x=2000,y=-345,s=3654
U:x=-270,y=50,s=570; L:x=2000,y=-316,s=3683
U:x=-270,y=45,s=575; L:x=2000,y=-287,s=3712
U:x=-270,y=40,s=580; L:x=2000,y=-258,s=3741
U:x=-270,y=35,s=585; L:x=2000,y=-229,s=3770
U:x=-275,y=35,s=590; L:x=2000,y=-200,s=3799
U:x=-275,y=30,s=595; L:x=2000,y=-171,s=3828
U:x=-275,y=25,s=600; L:x=2000,y=-142,s=3857
U:x=-275,y=20,s=605; L:x=2000,y=-113,s=3886
U:x=-280,y=20,s=610; L:x=2000,y=-84,s=3915
U:x=-280,y=15,s=615; L:x=2000,y=-55,s=3944
U:x=-280,y=10,s=620; L:x=2000,y=-26,s=3973
U:x=-280,y=5,s=625; L:x=2000,y=3,s=4002
U:x=-280,y=0,s=630; L:x=2000,y=32,s=4031
U:x=-285,y=0,s=635; L:x=2000,y=61,s=4060
U:x=-285,y=-5,s=640; L:x=2000,y=90,s=4089
U:x=-285,y=-10,s=645; L:x=2000,y=119,s=4118
U:x=-285,y=-15,s=650; L:x=2000,y=148,s=4147
U:x=-285,y=-20,s=655; L:x=2000,y=177,s=4176
U:x=-285,y=-25,s=660; L:x=2000,y=206,s=4205
U:x=-290,y=-25,s=665; L:x=2000,y=235,s=4234
U:x=-290,y=-30,s=670; L:x=2000,y=264,s=4263
U:x=-290,y=-35,s=675; L:x=2000,y=293,s=4292
U:x=-290,y=-40,s=680; L:x=2000,y=322,s=4321
U:x=-290,y=-45,s=685; L:x=2000,y=351,s=4350
U:x=-290,y=-50,s=690; L:x=2000,y=380,s=4379
U:x=-290,y=-55,s=695; L:x=2000,y=409,s=4408
U:x=-295,y=-55,s=700; L:x=2000,y=438,s=4437
U:x=-295,y=-60,s=705; L:x=2000,y=467,s=4466
U:x=-295,y=-65,s=710; L:x=2000,y=496,s=4495
U:x=-295,y=-70,s=715; L:x=2000,y=525,s=4524
U:x=-295,y=-75,s=720; L:x=2000,y=554,s=4553
U:x=-295,y=-80,s=725; L:x=2000,y=583,s=4582
U:x=-295,y=-85,s=730; L:x=2000,y=612,s=4611
U:x=-295,y=-90,s=735; L:x=2000,y=641,s=4640
U:x=-300,y=-90,s=740; L:x=2000,y=670,s=4669
U:x=-300,y=-95,s=745; L:x=2000,y=699,s=4698
U:x=-300,y=-100,s=750; L:x=2000,y=728,s=4727
U:x=-300,y=-105,s=755; L:x=2000,y=757,s=4756
U:x=-300,y=-110,s=760; L:x=2000,y=786,s=4785
U:x=-300,y=-115,s=765; L:x=2000,y=815,s=4814
U:x=-300,y=-120,s=770; L:x=2000,y=844,s=4843
U:x=-300,y=-125,s=775; L:x=2000,y=873,s=4872
U:x=-300,y=-130,s=780; L:x=2000,y=902,s=4901
U:x=-300,y=-135,s=785; L:x=2000,y=931,s=4930
U:x=-305,y=-135,s=790; L:x=2000,y=960,s=4959
U:x=-305,y=-140,s=795; L:x=2000,y=989,s=4988
U:x=-305,y=-145,s=800; L:x=2000,y=1018,s=5017
U:x=-305,y=-150,s=805; L:x=2000,y=1047,s=5046
U:x=-305,y=-155,s=810; L:x=2000,y=1076,s=5075
U:x=-305,y=-160,s=815; L:x=2000,y=1105,s=5104
U:x=-305,y=-165,s=820; L:x=2000,y=1134,s=5133
U:x=-305,y=-170,s=825; L:x=2000,y=1163,s=5162
U:x=-305,y=-175,s=830; L:x=2000,y=1192,s=5191
U:x=-305,y=-180,s=835; L:x=2000,y=1221,s=5220
U:x=-305,y=-185,s=840; L:x=2000,y=1250,s=5249
U:x=-305,y=-190,s=845; L:x=2000,y=1279,s=5278
U:x=-305,y=-195,s=850; L:x=2000,y=1308,s=5307
U:x=-310,y=-195,s=855; L:x=2000,y=1337,s=5336
U:x=-310,y=-200,s=860; L:x=2000,y=1366,s=5365
U:x=-310,y=-205,s=865; L:x=2000,y=1395,s=5394
U:x=-310,y=-210,s=870; L:x=2000,y=1424,s=5423
U:x=-310,y=-215,s=875; L:x=2000,y=1453,s=5452
U:x=-310,y=-220,s=880; L:x=2000,y=1482,s=5481
U:x=-310,y=-225,s=885; L:x=2000,y=1511,s=5510
U:x=-310,y=-230,s=890; L:x=2000,y=1540,s=5539
U:x=-310,y=-235,s=895; L:x=2000,y=1569,s=5568
U:x=-310,y=-240,s=900; L:x=2000,y=1598,s=5597
U:x=-310,y=-245,s=905; L:x=2000,y=1627,s=5626
U:x=-310,y=-250,s=910; L:x=2000,y=1656,s=5655
U:x=-310,y=-255,s=915; L:x=2000,y=1685,s=5684
U:x=-310,y=-260,s=920; L:x=2000,y=1714,s=5713
U:x=-310,y=-265,s=925; L:x=2000,y=1743,s=5742
U:x=-310,y=-270,s=930; L:x=2000,y=1772,s=5771
U:x=-315,y=-270,s=935; L:x=2000,y=1801,s=5800
U:x=-315,y=-275,s=940; L:x=2000,y=1830,s=5829
U:x=-315,y=-280,s=945; L:x=2000,y=1859,s=5858
U:x=-315,y=-285,s=950; L:x=2000,y=1888,s=5887
U:x=-315,y=-290,s=955; L:x=2000,y=1917,s=5916
U:x=-315,y=-295,s=960; L:x=2000,y=1946,s=5945
U:x=-315,y=-300,s=965; L:x=2000,y=1975,s=5974
U:x=-315,y=-305,s=970; L:x=1996,y=2000,s=6003
U:x=-310,y=-305,s=975; L:x=1967,y=2000,s=6032
U:x=-305,y=-305,s=980; L:x=1938,y=2000,s=6061
U:x=-300,y=-305,s=985; L:x=1909,y=2000,s=6090
U:x=-295,y=-305,s=990; L:x=1880,y=2000,s=6119
U:x=-290,y=-305,s=995; L:x=1851,y=2000,s=6148
U:x=-285,y=-305,s=1000; L:x=1822,y=2000,s=6177
U:x=-280,y=-305,s=1005; L:x=1793,y=2000,s=6206
U:x=-275,y=-305,s=1010; L:x=1764,y=2000,s=6235
U:x=-270,y=-305,s=1015; L:x=1735,y=2000,s=6264
U:x=-265,y=-305,s=1020; L:x=1706,y=2000,s=6293
U:x=-265,y=-310,s=1025; L:x=1677,y=2000,s=6322
U:x=-260,y=-310,s=1030; L:x=1648,y=2000,s=6351
U:x=-260,y=-315,s=1035; L:x=1619,y=2000,s=6380
U:x=-255,y=-315,s=1040; L:x=1590,y=2000,s=6409
U:x=-255,y=-320,s=1045; L:x=1561,y=2000,s=6438
U:x=-250,y=-320,s=1050; L:x=1532,y=2000,s=6467
U:x=-250,y=-325,s=1055; L:x=1503,y=2000,s=6496
U:x=-245,y=-325,s=1060; L:x=1474,y=2000,s=6525
U:x=-240,y=-325,s=1065; L:x=1445,y=2000,s=6554
U:x=-235,y=-325,s=1070; L:x=1416,y=2000,s=6583
U:x=-235,y=-330,s=1075; L:x=1387,y=2000,s=6612
U:x=-230,y=-330,s=1080; L:x=1358,y=2000,s=6641
U:x=-225,y=-330,s=1085; L:x=1329,y=2000,s=6670
U:x=-220,y=-330,s=1090; L:x=1300,y=2000,s=6699
U:x=-215,y=-330,s=1095; L:x=1271,y=2000,s=6728
U:x=-210,y=-330,s=1100; L:x=1242,y=2000,s=6757
U:x=-205,y=-330,s=1105; L:x=1213,y=2000,s=6786
U:x=-205,y=-335,s=1110; L:x=1184,y=2000,s=6815
U:x=-200,y=-335,s=1115; L:x=1155,y=2000,s=6844
U:x=-195,y=-335,s=1120; L:x=1126,y=2000,s=6873
U:x=-190,y=-335,s=1125; L:x=1097,y=2000,s=6902
U:x=-185,y=-335,s=1130; L:x=1068,y=2000,s=6931
U:x=-180,y=-335,s=1135; L:x=1039,y=2000,s=6960
U:x=-175,y=-335,s=1140; L:x=1010,y=2000,s=6989
U:x=-170,y=-335,s=1145; L:x=981,y=2000,s=7018
U:x=-165,y=-335,s=1150; L:x=952,y=2000,s=7047
U:x=-160,y=-335,s=1155; L:x=923,y=2000,s=7076
U:x=-155,y=-335,s=1160; L:x=894,y=2000,s=7105
U:x=-150,y=-335,s=1165; L:x=865,y=2000,s=7134
U:x=-145,y=-335,s=1170; L:x=836,y=2000,s=7163
U:x=-145,y=-340,s=1175; L:x=807,y=2000,s=7192
U:x=-140,y=-340,s=1180; L:x=778,y=2000,s=7221
U:x=-135,y=-340,s=1185; L:x=749,y=2000,s=7250
U:x=-130,y=-340,s=1190; L:x=720,y=2000,s=7279
U:x=-125,y=-340,s=1195; L:x=691,y=2000,s=7308
U:x=-120,y=-340,s=1200; L:x=662,y=2000,s=7337
U:x=-115,y=-340,s=1205; L:x=633,y=2000,s=7366
U:x=-110,y=-340,s=1210; L:x=604,y=2000,s=7395
U:x=-105,y=-340,s=1215; L:x=575,y=2000,s=7424
U:x=-100,y=-340,s=1220; L:x=546,y=2000,s=7453
U:x=-95,y=-340,s=1225; L:x=517,y=2000,s=7482
U:x=-90,y=-340,s=1230; L:x=488,y=2000,s=7511
U:x=-85,y=-340,s=1235; L:x=459,y=2000,s=7540
U:x=-80,y=-340,s=1240; L:x=430,y=2000,s=7569
U:x=-75,y=-340,s=1245; L:x=401,y=2000,s=7598
U:x=-70,y=-340,s=1250; L:x=372,y=2000,s=7627
U:x=-65,y=-340,s=1255; L:x=343,y=2000,s=7656
U:x=-60,y=-340,s=1260; L:x=314,y=2000,s=7685
U:x=-55,y=-340,s=1265; L:x=285,y=2000,s=7714
U:x=-50,y=-340,s=1270; L:x=256,y=2000,s=7743
U:x=-45,y=-340,s=1275; L:x=227,y=2000,s=7772
U:x=-40,y=-340,s=1280; L:x=198,y=2000,s=7801
U:x=-35,y=-340,s=1285; L:x=169,y=2000,s=7830
U:x=-30,y=-340,s=1290; L:x=140,y=2000,s=7859
U:x=-25,y=-340,s=1295; L:x=111,y=2000,s=7888
U:x=-20,y=-340,s=1300; L:x=82,y=2000,s=7917
U:x=-15,y=-340,s=1305; L:x=53,y=2000,s=7946
U:x=-10,y=-340,s=1310; L:x=24,y=2000,s=7975
U:x=-5,y=-340,s=1315; L:x=-5,y=2000,s=8004
U:x=0,y=-340,s=1320; L:x=-34,y=2000,s=8033
U:x=5,y=-340,s=1325; L:x=-63,y=2000,s=8062
U:x=10,y=-340,s=1330; L:x=-92,y=2000,s=8091
U:x=15,y=-340,s=1335; L:x=-121,y=2000,s=8120
U:x=20,y=-340,s=1340; L:x=-150,y=2000,s=8149
U:x=25,y=-340,s=1345; L:x=-179,y=2000,s=8178
U:x=30,y=-340,s=1350; L:x=-208,y=2000,s=8207
U:x=35,y=-340,s=1355; L:x=-237,y=2000,s=8236
U:x=40,y=-340,s=1360; L:x=-266,y=2000,s=8265
U:x=45,y=-340,s=1365; L:x=-295,y=2000,s=8294
U:x=50,y=-340,s=1370; L:x=-324,y=2000,s=8323
U:x=55,y=-340,s=1375; L:x=-353,y=2000,s=8352
U:x=60,y=-340,s=1380; L:x=-382,y=2000,s=8381
U:x=60,y=-345,s=1385; L:x=-411,y=2000,s=8410
U:x=65,y=-345,s=1390; L:x=-440,y=2000,s=8439
U:x=70,y=-345,s=1395; L:x=-469,y=2000,s=8468
U:x=75,y=-345,s=1400; L:x=-498,y=2000,s=8497
U:x=80,y=-345,s=1405; L:x=-527,y=2000,s=8526
U:x=85,y=-345,s=1410; L:x=-556,y=2000,s=8555
U:x=90,y=-345,s=1415; L:x=-585,y=2000,s=8584
U:x=95,y=-345,s=1420; L:x=-614,y=2000,s=8613
U:x=100,y=-345,s=1425; L:x=-643,y=2000,s=8642
U:x=105,y=-345,s=1430; L:x=-672,y=2000,s=8671
U:x=110,y=-345,s=1435; L:x=-701,y=2000,s=8700
U:x=115,y=-345,s=1440; L:x=-730,y=2000,s=8729
U:x=120,y=-345,s=1445; L:x=-759,y=2000,s=8758
U:x=125,y=-345,s=1450; L:x=-788,y=2000,s=8787
U:x=130,y=-345,s=1455; L:x=-817,y=2000,s=8816
U:x=135,y=-345,s=1460; L:x=-846,y=2000,s=8845
U:x=140,y=-345,s=1465; L:x=-875,y=2000,s=8874
U:x=145,y=-345,s=1470; L:x=-904,y=2000,s=8903
U:x=150,y=-345,s=1475; L:x=-933,y=2000,s=8932
U:x=155,y=-345,s=1480; L:x=-962,y=2000,s=8961
U:x=160,y=-345,s=1485; L:x=-991,y=2000,s=8990
U:x=165,y=-345,s=1490; L:x=-1020,y=2000,s=9019
U:x=170,y=-345,s=1495; L:x=-1049,y=2000,s=9048
U:x=175,y=-345,s=1500; L:x=-1078,y=2000,s=9077
U:x=180,y=-345,s=1505; L:x=-1107,y=2000,s=9106
U:x=185,y=-345,s=1510; L:x=-1136,y=2000,s=9135
U:x=190,y=-345,s=1515; L:x=-1165,y=2000,s=9164
U:x=195,y=-345,s=1520; L:x=-1194,y=2000,s=9193
U:x=200,y=-345,s=1525; L:x=-1223,y=2000,s=9222
U:x=205,y=-345,s=1530; L:x=-1252,y=2000,s=9251
U:x=210,y=-345,s=1535; L:x=-1281,y=2000,s=9280
U:x=215,y=-345,s=1540; L:x=-1310,y=2000,s=9309
U:x=220,y=-345,s=1545; L:x=-1339,y=2000,s=9338
U:x=225,y=-345,s=1550; L:x=-1368,y=2000,s=9367
U:x=230,y=-345,s=1555; L:x=-1397,y=2000,s=9396
U:x=235,y=-345,s=1560; L:x=-1426,y=2000,s=9425
U:x=240,y=-345,s=1565; L:x=-1455,y=2000,s=9454
U:x=245,y=-345,s=1570; L:x=-1484,y=2000,s=9483
U:x=250,y=-345,s=1575; L:x=-1513,y=2000,s=9512
U:x=255,y=-345,s=1580; L:x=-1542,y=2000,s=9541
U:x=260,y=-345,s=1585; L:x=-1571,y=2000,s=9570
U:x=265,y=-345,s=1590; L:x=-1600,y=2000,s=9599
U:x=270,y=-345,s=1595; L:x=-1629,y=2000,s=9628
U:x=275,y=-345,s=1600; L:x=-1658,y=2000,s=9657
U:x=280,y=-345,s=1605; L:x=-1687,y=2000,s=9686
U:x=285,y=-345,s=1610; L:x=-1716,y=2000,s=9715
U:x=290,y=-345,s=1615; L:x=-1745,y=2000,s=9744
U:x=295,y=-345,s=1620; L:x=-1774,y=2000,s=9773
U:x=300,y=-345,s=1625; L:x=-1803,y=2000,s=9802
U:x=305,y=-345,s=1630; L:x=-1832,y=2000,s=9831
U:x=310,y=-345,s=1635; L:x=-1861,y=2000,s=9860
U:x=315,y=-345,s=1640; L:x=-1890,y=2000,s=9889
U:x=320,y=-345,s=1645; L:x=-1919,y=2000,s=9918
U:x=325,y=-345,s=1650; L:x=-1948,y=2000,s=9947
U:x=330,y=-345,s=1655; L:x=-1977,y=2000,s=9976
U:x=335,y=-345,s=1660; L:x=-2000,y=1994,s=10005

Как прекрасно видно утка вполне себе попадает почти в угол своего квадрата одновременно с лисой в углу берега.

Чтобы не было возражений мол сетка слишком грубая, вот те же условия на сетке 4х4 миллиона, только начало и конец:

(Огромная сетка, букв мало)

U:x=0,y=0,s=0; L:x=1,y=-2000000,s=0
U:x=0,y=5,s=5; L:x=30,y=-2000000,s=29
U:x=0,y=10,s=10; L:x=59,y=-2000000,s=58
U:x=0,y=15,s=15; L:x=88,y=-2000000,s=87
...
U:x=342600,y=-342620,s=1634320; L:x=-1999955,y=2000000,s=9999954
U:x=342605,y=-342620,s=1634325; L:x=-1999984,y=2000000,s=9999983
U:x=342610,y=-342620,s=1634330; L:x=-2000000,y=1999987,s=10000012

Видно, что утка тоже почти попадает в угол.

Некоторая неточность попадания в угол связана с алгоритмом выбора шага утки (допустимы лишь 4 направления шага или стоять на месте), он не учитывает прямо расстояние от центра и слишком ограничен сеткой в шагах. Но погрешность и так менее процента, правда с увеличением сетки уже и не падает.

Итого: показано прямым расчётом что утка может приблизиться к углу своего квадрата одновременно с попаданием лисы в противоположный относительно центра угол берега как минимум на величину менее одного процента.

-- 02.02.2018, 04:23 --

Хочу обратить внимание, для мелкой сетки утка даже из достигнутой точки $(342610,-342620)$ может плыть прямо к правой стороне в точку $(2000000,-342620)$, на это ей потребуется пройти $1657390$ клеток или $331478$ шагов. Лиса за это время сможет сделать ровно столько же шагов и пройти $9612862$ клеток, попав в точку $(2000000,-387125)$ - т.е. утки не достигает, между ними остаётся $44505$ клеток или более полутора тысяч шагов! Т.е. на мелкой сетке это уже решение для $k=5{,}8$! Несмотря на огромную погрешность вычислений по сетке.

[Dmitriy40]

Вот полный пример для сетки 180х180, шаг утки 2, шаг лисы 11, $k=5{,}5$:

(Много букв)

U:x=0,y=0,s=0; L:x=1,y=-90,s=0
U:x=0,y=2,s=2; L:x=12,y=-90,s=11
U:x=0,y=4,s=4; L:x=23,y=-90,s=22
U:x=0,y=6,s=6; L:x=34,y=-90,s=33
U:x=-2,y=6,s=8; L:x=45,y=-90,s=44
U:x=-2,y=8,s=10; L:x=56,y=-90,s=55
U:x=-4,y=8,s=12; L:x=67,y=-90,s=66
U:x=-4,y=10,s=14; L:x=78,y=-90,s=77
U:x=-6,y=10,s=16; L:x=89,y=-90,s=88
U:x=-8,y=10,s=18; L:x=90,y=-80,s=99
U:x=-8,y=8,s=20; L:x=90,y=-69,s=110
U:x=-10,y=8,s=22; L:x=90,y=-58,s=121
U:x=-12,y=8,s=24; L:x=90,y=-47,s=132
U:x=-14,y=8,s=26; L:x=90,y=-36,s=143
U:x=-14,y=6,s=28; L:x=90,y=-25,s=154
U:x=-14,y=4,s=30; L:x=90,y=-14,s=165
U:x=-16,y=4,s=32; L:x=90,y=-3,s=176
U:x=-16,y=2,s=34; L:x=90,y=8,s=187
U:x=-16,y=0,s=36; L:x=90,y=19,s=198
U:x=-16,y=-2,s=38; L:x=90,y=30,s=209
U:x=-16,y=-4,s=40; L:x=90,y=41,s=220
U:x=-16,y=-6,s=42; L:x=90,y=52,s=231
U:x=-16,y=-8,s=44; L:x=90,y=63,s=242
U:x=-16,y=-10,s=46; L:x=90,y=74,s=253
U:x=-16,y=-12,s=48; L:x=90,y=85,s=264
U:x=-16,y=-14,s=50; L:x=84,y=90,s=275
U:x=-14,y=-14,s=52; L:x=73,y=90,s=286
U:x=-12,y=-14,s=54; L:x=62,y=90,s=297
U:x=-10,y=-14,s=56; L:x=51,y=90,s=308
U:x=-8,y=-14,s=58; L:x=40,y=90,s=319
U:x=-8,y=-16,s=60; L:x=29,y=90,s=330
U:x=-6,y=-16,s=62; L:x=18,y=90,s=341
U:x=-4,y=-16,s=64; L:x=7,y=90,s=352
U:x=-2,y=-16,s=66; L:x=-4,y=90,s=363
U:x=0,y=-16,s=68; L:x=-15,y=90,s=374
U:x=2,y=-16,s=70; L:x=-26,y=90,s=385
U:x=4,y=-16,s=72; L:x=-37,y=90,s=396
U:x=6,y=-16,s=74; L:x=-48,y=90,s=407
U:x=8,y=-16,s=76; L:x=-59,y=90,s=418
U:x=10,y=-16,s=78; L:x=-70,y=90,s=429
U:x=12,y=-16,s=80; L:x=-81,y=90,s=440
U:x=14,y=-16,s=82; L:x=-90,y=88,s=451 -- из этой точки утка дальше двигается по прямой вправо
U:x=16,y=-16,s=84; L:x=-90,y=77,s=462
U:x=18,y=-16,s=86; L:x=-90,y=66,s=473
U:x=20,y=-16,s=88; L:x=-90,y=55,s=484
U:x=22,y=-16,s=90; L:x=-90,y=44,s=495
U:x=24,y=-16,s=92; L:x=-90,y=33,s=506
U:x=26,y=-16,s=94; L:x=-90,y=22,s=517
U:x=28,y=-16,s=96; L:x=-90,y=11,s=528
U:x=30,y=-16,s=98; L:x=-90,y=0,s=539
U:x=32,y=-16,s=100; L:x=-90,y=-11,s=550
U:x=34,y=-16,s=102; L:x=-90,y=-22,s=561
U:x=36,y=-16,s=104; L:x=-90,y=-33,s=572
U:x=38,y=-16,s=106; L:x=-90,y=-44,s=583
U:x=40,y=-16,s=108; L:x=-90,y=-55,s=594
U:x=42,y=-16,s=110; L:x=-90,y=-66,s=605
U:x=44,y=-16,s=112; L:x=-90,y=-77,s=616
U:x=46,y=-16,s=114; L:x=-90,y=-88,s=627
U:x=48,y=-16,s=116; L:x=-81,y=-90,s=638
U:x=50,y=-16,s=118; L:x=-70,y=-90,s=649
U:x=52,y=-16,s=120; L:x=-59,y=-90,s=660
U:x=54,y=-16,s=122; L:x=-48,y=-90,s=671
U:x=56,y=-16,s=124; L:x=-37,y=-90,s=682
U:x=58,y=-16,s=126; L:x=-26,y=-90,s=693
U:x=60,y=-16,s=128; L:x=-15,y=-90,s=704
U:x=62,y=-16,s=130; L:x=-4,y=-90,s=715
U:x=64,y=-16,s=132; L:x=7,y=-90,s=726
U:x=66,y=-16,s=134; L:x=18,y=-90,s=737
U:x=68,y=-16,s=136; L:x=29,y=-90,s=748
U:x=70,y=-16,s=138; L:x=40,y=-90,s=759
U:x=72,y=-16,s=140; L:x=51,y=-90,s=770
U:x=74,y=-16,s=142; L:x=62,y=-90,s=781
U:x=76,y=-16,s=144; L:x=73,y=-90,s=792
U:x=78,y=-16,s=146; L:x=84,y=-90,s=803
U:x=80,y=-16,s=148; L:x=90,y=-85,s=814
U:x=82,y=-16,s=150; L:x=90,y=-74,s=825
U:x=84,y=-16,s=152; L:x=90,y=-63,s=836
U:x=86,y=-16,s=154; L:x=90,y=-52,s=847
U:x=88,y=-16,s=156; L:x=90,y=-41,s=858
U:x=90,y=-16,s=158; L:x=90,y=-30,s=869

Видно что лиса утку не поймала. И не поймала бы даже следующим шагом (т.е. это не ошибка очерёдности ходов).

С умельчением сетки расстояние до лисы немного подрастает:

U:x=90,y=-16,s=158; L:x=90,y=-30,s=869
U:x=900,y=-162,s=1526; L:x=900,y=-430,s=8569
U:x=9000,y=-1628,s=15168; L:x=9000,y=-4430,s=85569
U:x=90000,y=-16266,s=151350; L:x=90000,y=-44452,s=855547

[worm2]

Да что ж вы так человека мучаете?
Dmitriy40, дело в том, что на окружности все точки равнозначны, а на границе квадрата уже нет. Лиса может тупо выбрать одну из сторон квадрата, встать на её середину и ждать до тех пор, пока Утка не покинет пределы малого квадрата. Если Утка захочет это сделать из угла своего квадрата — ей же хуже.

[wrest]

worm2
Не обижайте Утку
Конечно Лиса может стоять на середине стороны. Тогда Утка будет плыть к середине противоположной стороны и так победит. Лисе придется оказаться в углу и весь вопрос в том, сможет ли Утка оказаться в нужном ей углу в этот момент. Я не вижу причин почему не сможет, при любой стратегии Лисы.

[EUgeneUS]

Я засомневался в решении для круглого озера из первого поста
Там мы предполагаем, что утка всегда может заставить лису бежать по длинной дуге.
Но это не так. Выбирая направление, утка делает дугу длинной для лисы.

Вот такая стратегия лисы:
1. Утка поплыла от круга безопасности по его касательной.
2. Лиса бежит по короткой дуге.
3. Утка меняет направление и плывет опять по касательной к кругу безопасности так, чтобы у лисы была длинная дуга.
Но утка уже вышла из окружности безопасности и в этом пункте она поворачивает не на $\pi$, а меньше.
4. Лиса опять меняет направление движения.
Все повторяется.

Это приводит к тому, что лиса гонит утку по лучу $(O;\pi/2)$, сама оставаясь в точке $-\pi/2$. При этом сокращается длина длинной дуги, по которой нужно бежать лисе.
В какой-то момент выигрыш от сокращения дуги становится меньшим, чем проигрыш от того, что утка приближается к берегу, тут лиса срывается и бежит до конца.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1289346 писал(а):

тут лиса срывается и бежит до конца.

Тогда Утка поворачивает на спасительную касательную и тоже плывет до конца.

Вы фактически говорите, что есть два критических круга, первый нам известен как "круг безопасности Утки", второй назовем кругом принятия решения Лисы. Чему же равен его радиус?