2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение28.01.2018, 00:31 


18/10/17
2
Прошу помочь в доказательстве следующего неравенства: $$\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}\geqslant\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1,x_2...x_n}}$$ где: $x_1, x_2,...\,,x_n \geqslant 1, x_n\geqslant 2$
Вот, что пытался сделать:
Известно, что функция $\frac1x$ является выпуклой функцией в положительной части оси $X$.
Соотвественно и функция $\frac1{1+x}$ также является выпуклой в заданной области определения.
Пользуясь теоремой Йенсена $(m_1x_1+m_2x_2+...+m_nx_n)\le m_1f(x_1)+m_2f(x_2)+...+m_nf(x_n)$ можно утверждать справедливость следующего выражения:
$$\frac1n \left( \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_n} \right)\geqslant\frac{1}{1+\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)}$$ Далее мыслится применить неравенство Коши для знаменателя правой части $\frac1n(x_1+x_2+...+x_n)\geqslant \sqrt[n]{x_1,x_2...x_n}$
Тогда мы придём к первому выражению, которое надо доказать. Но в этом случае знаменатель в правой части станет меньше а вся правая часть больше. Соответственно выражение не доказано.
PS. Неравенство дано в одной из брошюр, ссылку на которую по правилам форума нельзя давать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение28.01.2018, 04:10 


21/05/16
4292
Аделаида
pangolin в сообщении #1287892 писал(а):
ссылку на которую по правилам форума нельзя давать.

Можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение28.01.2018, 08:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Можно исследовать методом множителей Лагранжа на минимум функцию $\sum\limits_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{1+x_k}-\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}}$ при условиях $x_k\geqslant{1}$.

Вместо этого можно рассмотреть такую задачу $$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}\to\min \\
 \prod\limits_{k=1}^{n}x_k=q=\operatorname{const} \\
x_k\geqslant{1} \\
\end{array}
\right.$$

Минимальное значение достигнется, если все $x_k=\operatorname{const}$ (т.е. одинаковы между собой)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение28.01.2018, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
В дополнение к предыдущему посту: можно заметить, что достаточно рассмотреть случай, когда все $x_k\ne{1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение28.01.2018, 10:15 


18/10/17
2
kotenok gav в сообщении #1287916 писал(а):
Можно.

Если а этом случае можно, то это "Неравенства. Соловьёв Ю.П." (Библиотека "Математическое просвещение", выпуск 30).
Здесь
Задачи для самостоятельного решения. №12

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение29.01.2018, 16:06 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
pangolin
Йенсен - это хорошо. Но ограничение на иксы наводит на размышления...
Попробуйте применить его к функции $\frac{1}{1+e^t}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group