Доказать неравенство

[pangolin]

Прошу помочь в доказательстве следующего неравенства:

$$\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}\geqslant\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1,x_2...x_n}}$$

где: $x_1, x_2,...\,,x_n \geqslant 1, x_n\geqslant 2$
Вот, что пытался сделать:
Известно, что функция $\frac1x$ является выпуклой функцией в положительной части оси $X$.
Соотвественно и функция $\frac1{1+x}$ также является выпуклой в заданной области определения.
Пользуясь теоремой Йенсена $(m_1x_1+m_2x_2+...+m_nx_n)\le m_1f(x_1)+m_2f(x_2)+...+m_nf(x_n)$ можно утверждать справедливость следующего выражения:

$$\frac1n \left( \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_n} \right)\geqslant\frac{1}{1+\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)}$$

Далее мыслится применить неравенство Коши для знаменателя правой части $\frac1n(x_1+x_2+...+x_n)\geqslant \sqrt[n]{x_1,x_2...x_n}$
Тогда мы придём к первому выражению, которое надо доказать. Но в этом случае знаменатель в правой части станет меньше а вся правая часть больше. Соответственно выражение не доказано.
PS. Неравенство дано в одной из брошюр, ссылку на которую по правилам форума нельзя давать.

[kotenok gav]

pangolin в сообщении #1287892 писал(а):

ссылку на которую по правилам форума нельзя давать.

Можно.

[thething]

Можно исследовать методом множителей Лагранжа на минимум функцию $\sum\limits_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{1+x_k}-\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}}$ при условиях $x_k\geqslant{1}$.

Вместо этого можно рассмотреть такую задачу

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}\to\min \\ \prod\limits_{k=1}^{n}x_k=q=\operatorname{const} \\ x_k\geqslant{1} \\ \end{array} \right.$$

Минимальное значение достигнется, если все $x_k=\operatorname{const}$ (т.е. одинаковы между собой)

[thething]

В дополнение к предыдущему посту: можно заметить, что достаточно рассмотреть случай, когда все $x_k\ne{1}$

[pangolin]

kotenok gav в сообщении #1287916 писал(а):

Можно.

Если а этом случае можно, то это "Неравенства. Соловьёв Ю.П." (Библиотека "Математическое просвещение", выпуск 30).
Здесь
Задачи для самостоятельного решения. №12

[DeBill]

pangolin
Йенсен - это хорошо. Но ограничение на иксы наводит на размышления...
Попробуйте применить его к функции $\frac{1}{1+e^t}$