Найти комплексную амплитуду

[Myra Lee]

Добрый день.
К своему удивлению, столкнулся с проблемой при попытке найти комплексную амплитуду выражения

$$x(t) = A\sin({\omega t + \varphi}) + B\cos({\omega t + \varphi}).$$

На ум приходит записать что-то вроде

$$x(t) = \operatorname{Im}\left(\dot{A}e^{j\omega t}\right) + \operatorname{Re}\left(\dot{B}e^{j\omega t}\right).$$

Отсюда можно получить комплексные амплитуды соответствующих компонент: синусоидальной и косинусоидальной. Правильно ли я понимаю что чтобы найти комплексную амплитуду $\dot{X}$, нужно просто сложить $\dot{A}$ и $\dot{B}$?

[DimaM]

Myra Lee в сообщении #1288226 писал(а):

На ум приходит записать что-то вроде

Надо бы собрать в один косинус с дополнительным фазовым сдвигом.

[Myra Lee]

DimaM в сообщении #1288229 писал(а):

Myra Lee в сообщении #1288226 писал(а):

На ум приходит записать что-то вроде

Надо бы собрать в один косинус с дополнительным фазовым сдвигом.

Собрал. В предположении, что

$$A = \sin({\varphi_1}); B = \cos({\varphi_1})$$

получается

$$x(t) = \cos({\omega t + \varphi - \varphi_1}) = \operatorname{Re}(\dot{X}e^{j\omega t}).$$

Но что если у нас $A$ и $B$ больше единицы?

UPD: кажется, сообразил. В таком случае нужно представлять

$$A = C\sin({\varphi_1}); B = C\cos({\varphi_1})$$

и одно из условий даст, что

$$A^2+B^2 = C^2,$$

верно?

[DimaM]

Myra Lee в сообщении #1288237 писал(а):

верно?

Ага.

[Myra Lee]

DimaM,
Спасибо!