Одно диофантово уравнение (eng)

[sasa]

Consider the equation , in positive (distinct) integers,
$(*)\; \; \; \; \; \; \begin{array}{|c|} \hline x^3+y^5=z^7\\ \hline \end{array}\; .$

1) In order to show that $(*) $ has solutions $(x,y,z) $ , verify that $(*) $ is satisfied when :

$ \; \; \; \; \; \left\{\begin{array}{lll} x&: =&x(u,v,p) = u(u^3+v^5)^{35p+30}\\ y&: =&y(u,v,p)= v(u^3+v^5)^{21p+18} \\ z&: =&z(u,v,p)= (u^3+v^5)^{15p+13}\\ \end{array}\right. \; , $
$(u,v,p)$ being an arbitrary point in ${\mathbb N}^* \times {\mathbb N}^* \times {\mathbb N}\; . $ ($ {\mathbb N}:=\{0,1,...\} \; ,\; {\mathbb N}^*:=\{1,2,...\} $).

2) There are other solutions ?
3) There exists a solution $(x,y,z)$ such that $x,y,z $ are the length-sides of a triangle whose area is also an integer ?

[maxal]

What's the point in copying problems from MathLink forum?

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=430136

[sasa]

maxal писал(а):

What's the point in copying problems from MathLink forum?
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=430136

It's not so : sasa:=flip2004 . A motivation is that there, in Mathlink forum, does not appear any solution.

[Руст]

Если там не решили (я там тоже видел, но не хотелось писать длинные вещи на английском).
Обозначим через $d^{15}=(x^3,y^5)$, тогда $x^3=u^3*d^{15}$, $y^5=v^5d^{15}$. Тогда получаем $(u^3+v^5)d^{15}=z^7$, $(u,v)=1$. Из последнего следует так же, что $(u,d)=1=(v,d)$. Уравнение $u^3+v^5=z_1^7$ не имеет взаимно простых нетривиальных решений. Это можно доказать рассмотрением по модулю простого числа 211 (211-1 делится на 3,5,7). Поэтому должно быть $d=d_1^7*d_2$ и
$(u^3+v^5)d_2^{15}$ является седьмой степенью. Для последнего получаются решения $d_2=(u^3+v^5)^6$. Это дает решения в виде:
$x=u(u^3+v^5)^{30}d_2^{35},y=v(u^3+v^5)^{18}d_2^{21},z=(u^3+v^5)^{13}d_2^{15}$.

[maxal]

Руст писал(а):

Обозначим через d^15=(x^3,y^5),

Кто сказал, что НОД x^3 и y^5 будет точной 15-й степенью?

[Руст]

Пусть $p$ простое число делящие одновременно $x^3$ и $y^5$ степени. Тогда первое делится на $p^{3k}$, второе на $p^{5m}$. Если k не делится на 5 или m не делится на 3, то или $(x/p^k,(x^3,y^5))$ или $(y/p^m,(x^3,y^5))$ не равно нулю, что приводит к возможности дальнейшего сокращения на степень p в силу уравнения.

[maxal]

Ну и что?

Например, возможна ситуация:
$x^3$ делится на $p^{21}$, $y^5$ делится на $p^{25}$, $z^7$ делится на $p^{21}$ и $(x^3,y^5)=p^{21}$ не является точной 15-й степенью.

[Руст]

В принципе я не доказал, что не существуют такие решения, поэтому будем считать, что нашёл некоторые, возможно (или скорее) не все.