Комплексный анализ

[ewert]

Pyphagor писал(а):

Все это конечно похвально... но ни на йоту не позволяет мне приблизиться
к решению.

так ведь Вам же объяснили. Со всеми фактами, кроме относящихся к вещественной оси, Вы вроде согласны. Ну а для вещественных полюсов надо просто сослаться на обобщённую теорему о вычетах (ту, где полюса на контуре учитываются в уполовиненном виде).

[RIP]

Pyphagor
Вам надо просто проинтегрировать функцию $f(z)$ по прямоугольнику с вершинами $\pm\pi,\pm\pi+iR$ и устремить $R\to+\infty$. Только там не совсем прямоугольник: точки $b_k$ надо обогнуть по полуокружностям бесконечно малого радиуса (т.е. радиуса $\varepsilon$, где $\varepsilon\to+0$; при этом не важно, огибать снизу или сверху).

[Pyphagor]

О такой теореме не слышал.

Добавлено спустя 11 минут 38 секунд:

RIP писал(а):

Pyphagor
Вам надо просто проинтегрировать функцию $f(z)$ по прямоугольнику с вершинами $\pm\pi,\pm\pi+iR$ и устремить $R\to+\infty$. Только там не совсем прямоугольник: точки $b_k$ надо обогнуть по полуокружностям бесконечно малого радиуса (т.е. радиуса $\varepsilon$, где $\varepsilon\to+0$; при этом не важно, огибать снизу или сверху).

Вот по этим полуокружностям по обычной теореме о вычетах будет получатся
половина $resf(b_{k})$? Кажется начинаю догонять...

[RIP]

Pyphagor писал(а):

RIP писал(а):

Pyphagor
Вам надо просто проинтегрировать функцию $f(z)$ по прямоугольнику с вершинами $\pm\pi,\pm\pi+iR$ и устремить $R\to+\infty$. Только там не совсем прямоугольник: точки $b_k$ надо обогнуть по полуокружностям бесконечно малого радиуса (т.е. радиуса $\varepsilon$, где $\varepsilon\to+0$; при этом не важно, огибать снизу или сверху).

Вот по этим полуокружностям по обычной теореме о вычетах будет получатся
половина $resf(b_{k})$? Кажется начинаю догонять...

Нет, тут вообще не надо никакой теоремы о вычетах. В окрестности точки $b_k$ надо расписать
$f(z)=\sum_{l=1}^p\frac{c_l}{(z-b_k)^l}+f_0(z),$
где $f_0(z)$ регулярна в точке $b_k$, честно проинтегрировать главную часть и устремить $\varepsilon\to+0$ (интеграл от правильной части $f_0(z)$ в пределе даст 0).

[ewert]

RIP писал(а):

Нет, тут вообще не надо никакой теоремы о вычетах. В окрестности точки $b_k$ надо расписать
$f(z)=\sum_{l=1}^p\frac{c_l}{(z-b_k)^l}+f_0(z),$
где $f_0(z)$ регулярна в точке $b_k$, честно проинтегрировать главную часть и устремить $\varepsilon\to+0$ (интеграл от правильной части $f_0(z)$ в пределе даст 0).

Это и есть стандартное обобщение теоремы о вычетах.

[Pyphagor]

Обозначим $f_1= \sum_{l=1}^p\frac{c_{-l}} {(z-b_k)^l}$
Если $AqB$ полуокружность (огибающая полюс $b_k$)
располагающаяся сверху и обход происходит
по часовой, то нам нужно показать, что
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} int_{AqB} ({f_1+f_0}) = -\pi*i*resf(b_k) $
C выражением $f_0$ я разобрался.
А вот $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} int_{AqB} ({f_1}) $ не имеет предела.
У меня параметризация $AqB={z(t)=b_k+\varepsilon*\exp(it)}; t \in [\pi;0]}$

[Gordmit]

Pyphagor писал(а):

Обозначим $f_1= \sum_{l=1}^p\frac{c_l} {(z-b_k)^l}$
Если $AqB$ полуокружность (огибающая полюс $b_k$)
располагающаяся сверху и обход происходит
по часовой, то нам нужно показать, что
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} int_{AqB} ({f_1+f_0}) = resf(b_k) $

Точнее, что

$$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{AqB} ({f_1(z)+f_0(z)})\,dz = -\pi i\mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=b_k}f(z) $$

(минус из-за того, что обход по часовой стрелке).

Цитата:

C выражением $f_0$ я разобрался.
А вот $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} int_{AqB} ({f_1}) $ не имеет предела.
У меня параметризация $AqB={z(t)=b_k+\varepsilon*\exp(it)}; t \in [-\pi;0]}$

При $t\in[-\pi,0]$ это будет нижняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки. Для верхней полуокружности, проходимой по часовой стрелке, надо $t\in[\pi,0]$ (условно говоря, т.е. надо интеграл по $t$ брать от $\pi$ до $0$).
А как Вы считали $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{AqB} f_1(z)\,dz $ и как получилось, что предел не существует? Напишите подробнее.
Он существует и действительно равен $-\pi i c_1$.
Добавлено: конечно, в предположении, что $c_l=0$ для четных $l$.

[ewert]

Pyphagor писал(а):

Обозначим $f_1= \sum_{l=1}^p\frac{c_1} {(z-b_k)^l}$
Если $AqB$ полуокружность (огибающая полюс $b_k$)
располагающаяся сверху и обход происходит
по часовой, то нам нужно показать, что
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{AqB} ({f_1+f_0}) = {\rm Res}\,f(b_k) $
C выражением $f_0$ я разобрался.
А вот $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{AqB} ({f_1}) $ не имеет предела.
У меня параметризация $AqB={z(t)=b_k+\varepsilon\cdot \exp(it)}; t \in [-\pi;0]}$

Во-первых, подправьте форматирование -- трудно читать. Во-вторых, всё же не ${\rm Res}\,f(b_k)$, а ${\pi i\,\rm Res}\,f(b_k)$.

А по существу: второй предел бесконечен (или, что эквивалентно, интеграл в смысле главного значения не существует) -- тогда и только тогда, когда на границе есть кратные полюса (хоть один).

Т.е.: из существования главного значения интеграла следует, что полюса на границе простые. Конечно, тут существенно, что на границе -- именно полюса (а не существенно особые точки), но это оговорено в условии.

А вот если все полюса простые (т.е. $p=1$ для каждого полюса), то этот самый второй интеграл прекрасно конечен. И равен ровно тому, чему нужно.

[Gordmit]

Кстати, странно как-то получается.
Если огибать полюсы $b_k$ по верхним полуокружностям, получается $- \pi i \mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=b_k}f(z)$, а если по нижним, то $\pi i \mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=b_k}f(z)$

Добавлено спустя 12 минут 38 секунд:

А, нет ничего странного. Так же и должно быть

[Pyphagor]

Рассмотрим выражение вида $\int_{AqB} {\frac{1}{(z-a)^s}dz$ при $ s>1$.
Имеем $z=a+\varepsilon*exp(it), t \in [\pi;0] , dz=i*\varepsilon*exp(it)dt$
$\int_{AqB} {\frac{1}{(z-a)^s}dz= \varepsilon^k*i*\int_{\pi}^{0} exp(itk) dt=$
$ = \frac{\varepsilon^k} {k}*(1-cos(k\pi))$, где $k=1-s$
При $\varepsilon \to 0$ последнее выражение не имеет предела.
(разумеется при четных $s$).
При $s=1$, действительно получаем $\int_{AqB} {\frac{1}{(z-a)}dz=-\pi*i$.
Что делать?

P.S. Долбанутый тег - заколебался с ним.

[ewert]

Pyphagor писал(а):

Что делать?

А кто виноват?

Кто виноват в том, что у Вас там полный бардак с $k$ и с экспонентой при интегрировании? наведите порядок.

А если серьёзно -- то сделать отсюда вывод, что при наличии чётных степеней конечного предела для каждой окрестности не существует (т.к. существует бесконечный -- но для этого надо быть аккуратнее и выписывать для оценки сумму всех степеней).

Т.е. не существует главного значения. Что противоречит условию задачи. Следовательно, присутствуют только нечётные степени и, значит, всё нормально.

[Pyphagor]

Вроде бы доделал...
Да и черт с этой задачей!
Вообще это что-то вроде квалификационной практики.
Преподают нам комплексный анализ (да и не только) отвратительно, так что, думаю позволительно
(не портя честь математика, хотя со мной вряд ли кто согласится)
это нахальство - фактически ничего и никак не обосновывать.
Наши преподы вполне этого заслуживают!
P.S. За помощь всем спасибо.