Уравнения электрического и магнитного полей

[Solaris86]

Если я правильно понимаю, то существует 4 пары уравнений для электростатики и 4 пары уравнений для магнитостатики.
1. Электростатика:
1)$\ointop\limits_L \vec E d\vec l = 0$
$\operatorname{rot} \vec E = 0$
2)$\ointop\limits_S \vec E d\vec S = \dfrac{\sum\limits_i q_i}{\varepsilon_0}$
$\operatorname{div} \vec E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$
3)$\ointop\limits_L \vec D d\vec l = 0$
$\operatorname{rot} \vec D = 0$
4)$\ointop\limits_S \vec D d\vec S = \sum\limits_i q_i_\text{своб.}$
$\operatorname{div} \vec D = \rho_\text{своб.}$
2. Магнитостатика:
1)$\ointop\limits_L \vec B d\vec l = \mu_0 \sum\limits_i I_i$
$\operatorname{rot} \vec B = \mu_0 \vec j$
2)$\ointop\limits_S \vec B d\vec S = 0$
$\operatorname{div} \vec B = 0$
3)$\ointop\limits_L \vec H d\vec l = \sum\limits_i I_i_\text{пров.}$
$\operatorname{rot} \vec H = \vec j_\text{пров.}$
4)$\ointop\limits_S \vec H d\vec S = 0$
$\operatorname{div} \vec H = 0$
Вопрос: почему в уравнения Максвелла попали только 8 уравнений из 16? Что не так с $\operatorname{div} \vec E, \operatorname{div} \vec H, \operatorname{rot} \vec B, \operatorname{rot} \vec D$?

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1287645 писал(а):

Что не так с $\operatorname{div} \vec E, \operatorname{div} \vec H, \operatorname{rot} \vec B, \operatorname{rot} \vec D$?

Записанные вам уравнения для $\operatorname{div} \vec H, \operatorname{rot} \vec D$ попросту неверны в случае переменной по пространству магнитной/электрической проницаемости.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: в соответствующий раздел.

[Alex-Yu]

Solaris86 в сообщении #1287645 писал(а):

почему в уравнения Максвелла попали только 8

Поля $\vec{D}$ и $\vec{H}$ являются вспомогательными и при этом не фундаментальными. И, кстати, записанные для них уравнения в общем случае (например, с учетом пространственной дисперсии, да и временной дисперсии тоже) просто не верны. Так что в фундаментальных уравнениях Максвелла им делать нечего.

И да, токи и заряды надо писать полные, без выделения так называемых "свободных". Получение же ПРИБЛИЖЕННЫХ уравнений в среде, когда и появляются $\vec{D}$ и $\vec{H}$ есть предмет отдельного раздела, называемого электродинамика сплошных сред. Кстати, определение полей $\vec{D}$ и $\vec{H}$ неоднозначно, может быть сделано различными способами (например, в оптике никогда не вводят магнитную проницаемость). Более подробно см., например, знаменитую книгу Аграновича и Гинзбурга "Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии..."

[Solaris86]

Про $\vec D$ и $\vec H$ я понял. А причины для отсутствия в уравнениях Максвелла $\operatorname{div} \vec E$ и $\operatorname{rot} \vec B$

[Alex-Yu]

Solaris86 в сообщении #1287682 писал(а):

А причины для отсутствия в уравнениях Максвелла $\operatorname{div} \vec E$ и $\operatorname{rot} \vec B$

А вот они как раз, если правильно написать, и присутствуют. Другое дело, что часто пишут неправильно (в смысле не фундаментально).
Правильно это вот так:

$$ {\rm rot}\,\vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

$$ {\rm rot}\,\vec{B} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0\vec{j} $$

$$ {\rm div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$

$$ {\rm div}\,\vec{B} = 0 $$

Для поля в среде ток $\vec{j}$ разбивается на три части: сторонний, поляризационный (соответствующий электрической поляризации среды), равный $\partial \vec{P}/\partial t$, и магнитный, равный ${\rm rot}\,\vec{M}$ (в принципе те самые молекуляные токи, еще Ампером придуманные). После этого определяем вспомогательные поля:

$$ \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} $$

$$ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0}\vec{B} - \vec{M} $$

тогда получаются уравнения Максвелла в более привычной форме. Но исходно в фундаментальных уравнениях Максвелла никаких $\vec{H}$ и $\vec{D}$ не должно быть вообще. Только $\vec{B}$ и $\vec{E}$

[rustot]

Solaris86 в сообщении #1287645 писал(а):

Если я правильно понимаю, то существует 4 пары уравнений для электростатики и 4 пары уравнений для магнитостатики

$\nabla\vec{E} = 4\pi\rho$
$\nabla\vec{B} = 0$
$\nabla\times\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}$
$\nabla\times\vec{B} = \frac{4\pi}{c}\vec{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}$

Если часть зарядов и токов переместить в обобщенное "состояние среды" $\vec{P}$ и $\vec{M}$. то первое и последнее приобретают вид (тут в $\rho$ и $\vec{j}$ уже не входит то что выражено через $\vec{P}$ и $\vec{M}$)

$\nabla\vec{E} = 4\pi\rho - 4\pi\nabla\vec{P}$
$\nabla\times\vec{B} = \frac{4\pi}{c}(\vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{P}) + 4\pi\nabla\times\vec{M} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}$

А "статика" убирает производные по времени (постоянный ток в принципе можно отнести в каком то смысле к статике)

$\nabla\vec{E} = 4\pi\rho - 4\pi\nabla\vec{P}$
$\nabla\vec{B} = 0$
$\nabla\times\vec{E} = 0$
$\nabla\times\vec{B} = \frac{4\pi}{c}\vec{j} + 4\pi\nabla\times\vec{M}$

Ну и "электростатика" это обнуление $\vec{j}$ и $\vec{M}$, а "магнитостатика" обнуление $\rho$ и $\vec{P}$

В магнитостатике бывает удобнее решать для $\vec{H} = \vec{B} - 4\pi\vec{M}$, а уже потом к ответу прибавить $4\pi M$

$\nabla\vec{H} = -4\pi\nabla\vec{M}$
$\nabla\times\vec{H} = -\frac{4\pi}{c}\vec{j}$

особенно в отсутствии токов, которые невозможно выразить через $\vec{M}$ - задача становится симметрична электростатической