Композиция трехмерных матриц поворота

[arseniiv]

(Оффтоп)

artfin
Извините, не помню, не спрашивали ли вас уже где-то в другом месте, вам обязательно нужно использовать углы Эйлера в том, что решаете? Может, с ними всё же позволено распрощаться? Вот вы же видели, какие кватерниончики хорошие…

[artfin]

arseniiv, прошу прощения за долгую паузу.
Дальше в сообщении кратко опишу контекст задачи. Даю ссылку на документ, в котором написано подробнее:
https://github.com/artfin/trajpdf/blob/ ... system.pdf
Общая идея заключается в том, чтобы получить якобиан замены переменных, приводящей гамильтониан системы двух произвольных волчков к диагональному виду. При этом гамильтониан должен быть записан во внутренних координатах, которые традиционно при описании слабо-связанных молекулярных пар имеют следующий вид. Вводится подвижная система таким образом, чтобы линия, соединяющая центры масс волчков, лежала на оси OZ. Некоторым образом выбирается вектор, который вместе с осью OZ будет задавать плоскость XZ. Ось OY выбирается перпендикулярной плоскости XZ так, чтобы получилась правая система координат. Ориентация мономеров относительно подвижной системы координат описывается при помощи углов Эйлера (у нас приняты zxz), при этом для одного из волчков исключают угол собственного вращения $\psi$. Так получается набор из 6 координат: $(R, \varphi_1, \theta_1, \psi_1, \varphi_2, \theta_2)$.
Поскольку ясного представления о том, как получить описанный гамильтониан в общем случае нет, то решили попробовать пройти по окольному пути. Взять существенно более простой гамильтониан, записанный в лабораторной системе координат, помещенной в центре масс пары; найти для него диагонализующий якобиан. Затем написать уравнения связи угловых переменных в лабораторной и подвижной системах, получить якобиан перехода от первых ко вторым, и использовать его для получения якобиана диагонализации гамильтониана в подвижной системе.
Где-то на этом пути отказаться от углов Эйлера в пользу, скажем, кватернионов, мне не представляется возможным.

[artfin]

Еще один вопрос. Пусть есть некоторая функция от углов Эйлера $f(\varphi, \theta, \psi)$. Рассмотрим некоторую замену переменных $\varphi, \theta, \psi \longrightarrow \varphi^\prime, \theta^\prime, \psi^\prime$ в интеграле функции $f$ по углам Эйлера, по всем возможным ориентациям (причем дифференциалы углов $\varphi$, $\psi$ идут отдельно, а $\theta$ -- с $\sin \theta$). Штрихованные переменные связаны с исходными переменными при помощи некоторой матрицы поворота (исходные переменные отсчитывались от одного набора осей, штрихованные отсчитываются относительно осей, каким-то образом повернутых относительно исходного набора осей). Верно ли, что:

$$ \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} f(\varphi, \theta, \psi) d\varphi \sin \theta d \theta d \psi = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} f(\varphi^\prime, \theta^\prime, \psi^\prime) d\varphi^\prime \sin \theta^\prime d \theta^\prime d \psi^\prime $$

И как это можно показать?