Не могу разобраться с сокращением дробей за 8 класс

[oleg_parhimchic]

Здравствуйте! Не могу допереть, по какому правилу сокращается дробь.
Есть выражение
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
Т.е перемножаю крест на крест, а затем перемножаю знаменатели
Есть выражение, которое требуется решить.
$\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}$
Моё решение

$\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}=\frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)}$
и согласно формуле выше я записываю так
$\frac{(a+4)(a^2-4)}{a(a-2)}-\frac{a(a^2-2a)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-4a+4a^2-16-a^3+2a^2}{a(a-2)(a-2)(a+2)}=\frac{6a^2-4a-16}{a(a-2)(a-2)(a+2)}$
Знаменатели на квадраты разложил правильно, перемножил, как по формуле. Смотрю в ответы - неверно. Объясните в чём у меня ошибка и растолкуйте правило, которое тут действует.

[wrest]

oleg_parhimchic
Никто не будет смотреть в картинки на яндекс диске, пишите формулы сюда.
И уберите мат пока не поздно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Ссылки убирайте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 21.01.2018, 21:42 --

oleg_parhimchic
Предупреждение за ненормативную и т.п. лексику. Убирайте сами.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

У Вас тоже правильно. Можно же сократить. А чтобы не пришлось сокращать и не делать лишних умножений, существует наименьший общий знаменатель.
Например $\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{24}=\dfrac{5\cdot24+7\cdot36}{36\cdot 24}=\dfrac{372}{864}$

А можно $\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{24}=\dfrac{5}{3\cdot12}+\dfrac{7}{2\cdot12}=\dfrac{5\cdot2+7\cdot3}{3\cdot2\cdot 12}=\dfrac{31}{72}$

[oleg_parhimchic]

gris в сообщении #1286397 писал(а):

У Вас тоже правильно. Можно же сократить. А чтобы не пришлось сокращать и не делать лишних умножений, существует наименьший общий знаменатель.
Например $\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{24}=\dfrac{5\cdot24+7\cdot36}{36\cdot 24}=\dfrac{372}{864}$

А можно $\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{24}=\dfrac{5}{3\cdot12}+\dfrac{7}{2\cdot12}=\dfrac{5\cdot2+7\cdot3}{3\cdot2\cdot 12}=\dfrac{31}{72}$

Спасибо Вам большое.

[wrest]

oleg_parhimchic в сообщении #1286181 писал(а):

Объясните в чём у меня ошибка и растолкуйте правило, которое тут действует.

Вы немного "недосократили" (на $(a-2)$).

[Someone]

oleg_parhimchic в сообщении #1286181 писал(а):

$\frac{(a+4)(a^2-4)}{a(a-2)}-\frac{a(a^2-2a)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-4a+4a^2-16-a^3+2a^2}{a(a-2)(a-2)(a+2)}=\frac{6a^2-4a-16}{a(a-2)(a-2)(a+2)}$
Знаменатели на квадраты разложил правильно, перемножил, как по формуле. Смотрю в ответы - неверно.

Вы же, вроде бы, умеете разлагать квадратный трёхчлен на множители? Вот разложите числитель на множители и сравните с знаменателем.

gris в сообщении #1286397 писал(а):

А чтобы не пришлось сокращать и не делать лишних умножений, существует наименьший общий знаменатель.

(Правда, это не гарантирует, что сократить будет нельзя. Но количество всяких вычислений и преобразований часто уменьшается.)

[wrest]

oleg_parhimchic в сообщении #1286181 писал(а):

и согласно формуле выше я записываю так
$\frac{(a+4)(a^2-4)}{a(a-2)}-\frac{a(a^2-2a)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-4a+4a^2-16-a^3+2a^2}{a(a-2)(a-2)(a+2)}$

У вас тут в середине недосмотр случился или в ваших промежуточных выкладках или при переписывании на форум... Но выше написанное равенство неверно.

[oleg_parhimchic]

wrest в сообщении #1286424 писал(а):

oleg_parhimchic в сообщении #1286181 писал(а):

и согласно формуле выше я записываю так
$\frac{(a+4)(a^2-4)}{a(a-2)}-\frac{a(a^2-2a)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-4a+4a^2-16-a^3+2a^2}{a(a-2)(a-2)(a+2)}$

У вас тут в середине недосмотр случился или в ваших промежуточных выкладках или при переписывании на форум... Но выше написанное равенство неверно.

Можете подсказать, что это за механизм участвует в этой теме? Я вообще запутался и даже воткнуться не могу. Вроде нужно перемножить крест на крест а затем перемножить знаменатели. Это тот случай, когда знаменатели это многочлен суммы/разности. Но я проанализировал. Почему, когда многочлен в знаменателе имеет букву в степени, допустим 2, то эту букву умножаю по диагонали на числитель, но уже без квадрата. А если когда скобка квадрата/куба разности или суммы, то раскладываю эту скобку и умножаю только на одну скобку.
Может коряво и топорчато, но как понял, уж строго не судите. Можете объяснить механизм по которому нужно решать, чтоб с ответами сходилось?

[thething]

Находите наименьший общий знаменатель и умножайте каждый числитель только на то, чего не хватает в соответствующем знаменателе. Например, у дробей $\frac{1}{a(a-2)}$ и $\frac{1}{(a-2)^2(a+2)}$ наименьший общий знаменатель будет $a(a-2)^2(a+2)$, поэтому первую дробь домножаем на то, чего не хватило до общего знаменателя, т.е. на $(a-2)(a+2)$, а вторую - только на $a$.
В результате получаем $\frac{1}{a(a-2)}+\frac{1}{(a-2)^2(a+2)}=\frac{(a-2)(a+2)+a}{a(a-2)^2(a+2)}$

[wrest]

oleg_parhimchic в сообщении #1287133 писал(а):

Можете объяснить механизм по которому нужно решать, чтоб с ответами сходилось?

У вас правильно в первом посте написано:

oleg_parhimchic в сообщении #1286181 писал(а):

Есть выражение
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
Т.е перемножаю крест на крест, а затем перемножаю знаменатели

Чтобы было еще яснее, вот почему это происходит:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{d}+\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{b}{b}=\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{cb}{bd}=\dfrac{ad+cb}{bd}$

Ваши проблемы в том, что
1. Вы неаккуратно умножаете.
2. После преобразований не сокращаете сократимое.
3. Раскрываете скобки там где не надо их раскрывать.

По второму пункту см. пост post1286397.html#p1286397

Суть проблемы в том, что вы получаете ответ $\dfrac{372}{864}$ или скажем $\dfrac{x^2y-2xy}{y(x+3)}$ который не сходится с ответом в учебнике $\dfrac{31}{72}$ или скажем $\dfrac{x(x-2)}{x+3}$, хотя это один и тот же ответ. Решение проблемы -- надо раскладывать числитель и знаменатель на множители и сокращать сокращаемое.

Кстати, вы уже умеете делить один многочлен на другой "уголком" (как делят "уголком" обычные числа)?

[EUgeneUS]

oleg_parhimchic в сообщении #1287133 писал(а):

Можете подсказать, что это за механизм участвует в этой теме? Я вообще запутался и даже воткнуться не могу. Вроде нужно перемножить крест на крест а затем перемножить знаменатели.

Когда Вы "перемножили крест на крест, а затем перемножили знаменатели" может случиться так, что еще можно подсократить.
А если у знаменателей есть общий множитель, то подсократить можно точно.

[thething]

oleg_parhimchic
С ответами у Вас не сходится потому, что предполагается, что Вы должны приводить именно к наименьшему общему знаменателю. Кроме того, по-моему, в восьмом классе еще не проходят разложение квадратного трехчлена на множители, вот Вы и не можете Ваш ответ привести к "правильному" виду.
При нахождении общего знаменателя лучше стараться, чтобы он был наименьшим. В Вашем примере $a(a-2)(a-2)(a+2)$ -- это общий знаменатель, но не наименьший. Наименьшим будет $a(a-2)(a+2)$. Например, еще общим знаменателем в Вашем примере будет $a^2(a-2)(a+2)^3$ или $a(a-2)^2(a+2)^2$, но они тоже не будут наименьшими и использовать их не стОит.

[Mikhail_K]

oleg_parhimchic, Ваша главная ошибка в том, что Вы ищете в математике какие-то правила, которым нужно строго следовать (типа "всегда перемножать крест накрест"); а надо пользоваться не правилами, а логикой.

Откуда, к примеру, возникает "правило" с "перемножением крест-накрест"? Например, так.
Надо сложить $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$.
Мы знаем, что если знаменатели дробей равны, то нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним: например, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$. (К этому тоже надо относиться не как к какому-то "правилу", а надо понимать, почему это так; но сейчас не об этом.)
Что же делать, если знаменатели различны, $b\neq d$? Надо как-то преобразовать обе дроби, чтобы знаменатели у них стали равными.
И у нас есть инструмент для этого: мы знаем, что если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, то дробь не изменится. Если мы умножим числитель и знаменатель первой дроби на $d$, а второй на $b$, то у дробей как раз и окажется один и тот же знаменатель $bd$, что нам и нужно. Поэтому:

$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}. $$

Вот это надо понимать, а не учить какие-то "правила". И не только здесь, а по возможности повсюду, где только можно и где это получится.

Пусть теперь у нас такое задание: сложить $\frac{5}{6}+\frac{4}{9}$.
Вместо того, чтобы тупо "перемножать крест-накрест", можно попытаться порассуждать тем же способом, что и выше.
И увидеть, что если умножить числитель и знаменатель левой дроби на $3$, а правой на $2$, то знаменатель опять же получится один и тот же: $18$.
Таким образом,

$$ \frac{5}{6}+\frac{4}{9}=\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}+\frac{4\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{15}{18}+\frac{8}{18}=\frac{23}{18}. $$

(Наверняка, Вам рассказывали в классе пятом или шестом, как эти множители $3$ и $2$ найти не путём подбора, а с помощью чёткого алгоритма. Стоит вспомнить. Что-то подобное Вам стоит делать и в Вашем задании).

Наконец. Если ответ получился не такой, как "в ответе" - это ещё не значит, что он неверный. Например, перемножив "крест-накрест", Вы получили $\frac{5}{6}+\frac{4}{9}=\frac{5\cdot 9+6\cdot 4}{6\cdot 9}=\frac{69}{54}$, а в ответе стоит почему-то $\frac{23}{18}$. Понимаете, почему это один и тот же ответ?