Область сходимости ряда

[Men007]

Найти область сходимости ряда:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}{n^{3}}$.

Решение:
Решал по признаку Даламбера, в итоге получил:

$\lim _ {n \to \infty}|\frac{(x^{2}+2)^{n+1}}{(n+1)^{3}} \cdot \frac{n^{3}}{(x^{2}+2)^{n}} |$

$\lim _ {n \to \infty}|\frac{(x^{2}+2)^{n}(x^{2}+2) n^{3}}{(n+1)^{3} (x^{2}+2)^{n} } |$

$ |(x^{2}+2)| \lim _ {n \to \infty} (\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}})$.

Следовательно, основываясь на признаке Даламбера, получим:
$|(x^{2}+2)| <1 $
$ -3<x^{2}<-1 $.

То есть область сходимости пуста, ряд всюду расходится.

Верно ли я решил, и можно ли как-то иначе доказать, что ряд расходится (например, согласно одному из признаков сравнения подобрать такой ряд, что если он расходится, то расходится и наш ряд)?

[Lia]

Можно. Необходимый признак нарушен всюду.

[Someone]

Men007 в сообщении #1286157 писал(а):

Верно ли я решил

Верно.

Men007 в сообщении #1286157 писал(а):

можно ли как-то иначе доказать, что ряд расходится

Можно. Оцените снизу $x^2+2$ и примените необходимый признак сходимости.

[thething]

Men007 в сообщении #1286157 писал(а):

согласно одному из признаков сравнения подобрать такой ряд, что если он расходится, то расходится и наш ряд)

Признаки сравнения (по крайней мере в части именно расходимости) можно применять только для знакопостоянных рядов, так что нет.

[Men007]

Someone
Большое спасибо. А можно еще уточнить, что вы имеете ввиду под:

Someone в сообщении #1286164 писал(а):

Оцените снизу $x^2+2$

[Men007]

Как в данном случае воспользоваться необходимым признаком сходимости числового ряда?
Просто я не представляю, как найти данный предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}{n^{3}}$

[thething]

Men007 в сообщении #1286179 писал(а):

Как в данном случае воспользоваться необходимым признаком сходимости числового ряда?
Просто я не представляю, как найти данный предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}{n^{3}}$

Если бы тут не стояло $(-1)^n$ можно было бы сравнить скорости роста числителя и знаменателя. В Вашем случае можно рассмотреть какой-нибудь частичный предел, например, взять $n=2k$

Сам же предел искать не надо (его, кстати не существует), достаточно показать, что хоть какой-то частичный предел не равен нулю.

[vpb]

На всякий случай хочу спросить, $x$ действительное или комплексное? Иначе говоря, это задача с матана или с ТФКП ?

-- 21.01.2018, 21:10 --

Men007 в сообщении #1286179 писал(а):

Просто я не представляю, как найти данный предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}{n^{3}}$

Подумайте, существуют ли пределы последовательностей $\displaystyle\frac{2^n}{n^3}$ и $\displaystyle(-1)^n\frac{2^n}{n^3}$, и как это доказать.

[Someone]

Men007 в сообщении #1286179 писал(а):

Как в данном случае воспользоваться необходимым признаком сходимости числового ряда?
Просто я не представляю, как найти данный предел:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}{n^{3}}$

Модуль возьмите. Только сначала подумайте, изменится ли от этого что-нибудь в формулировке необходимого признака сходимости.

Men007 в сообщении #1286169 писал(а):

Someone
Большое спасибо. А можно еще уточнить, что вы имеете ввиду под:

Someone в сообщении #1286164 писал(а):

Оцените снизу $x^2+2$

Типа "данное выражение при всех $x$ не меньше такого-то числа"

[Null]

Формально там ошибка:

Men007 в сообщении #1286157 писал(а):

Следовательно, основываясь на признаке Даламбера, получим:
$|(x^{2}+2)| <1 $
То есть область сходимости пуста, ряд всюду расходится.

Но из отрицания признака Даламбера не следует расходимость.
Надо так:

Цитата:

$|(x^{2}+2)|>1 $
Следовательно ряд расходиться по признаку Далабера.