Дрейф электронов в однородном поле

[StaticZero]

В очень большой прямоугольной камере заперли равновесный газ при температуре $T$ из нейтральных молекул и добавили туда электронов. Пусть теперь включено однородное поле $\mathbf E = E_0 \mathbf e_x$. На нейтральные молекулы оно не действует; газ находится в максвелловском равновесии. Электроны будут разгоняться полем, но ударяясь в молекулы, они будут терять энергию. Установится некоторое равновесие. Нужно оценить равновесную температуру электронов в этой камере.

Здесь приводится без всякого объяснения формула для энергии, получаемой молекулой, в среднем за много пинков электронами:

$$ \langle \Delta W_m \rangle = \left \langle \dfrac{(\Delta p_e)^2}{2 M}\right \rangle = \left \langle \dfrac{(\Delta p_e)^2}{2 M} \right \rangle = \dfrac{2 m}{M} \langle W_e \rangle, $$

где $W_e$ --- кинетическая энергия электрона, $\Delta p_e$ --- изменение импульса электрона. Эта формула соответствует тому, что в среднем электрон теряет половину своего импульса; однако, молекулы очень тяжелые по сравнению с электроном и в первом приближении электроны должны полностью отражаться; таким образом, должно быть $\Delta p_e = -2mv_e$ и

$$ \langle \Delta W_m \rangle = \dfrac{4 m}{M} \langle W_e \rangle. $$

Как получить правильный результат?

[AnatolyBa]

Все дело в усреднении.
Формула не точна, кстати. Более точную формулу и обсуждение можно найти у Райзера.
Физика газового разряда. Глава 2 параграф 3.
Не хочу оттуда переписывать. Там некоторые тонкости обсуждаются связанные с разницей межу сечением и транспортным сечением

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1285691 писал(а):

Эта формула соответствует тому, что в среднем электрон теряет половину своего импульса; однако, молекулы очень тяжелые по сравнению с электроном и в первом приближении электроны должны полностью отражаться; таким образом, должно быть $\Delta p_e = -2mv_e$

Это если точно лобовое столкновение - один крайний случай.
В другом крайнем случае - касательное столкновение - изменение импульса примерно нуль.
Дальше усреднение.
Если брать молекулы в виде твердых неподвижных шариков, а импульсы всех электронов одинаковыми, как раз получается $\langle\Delta p_e^2\rangle=p_e^2/2$.

[Gickle]

StaticZero в сообщении #1285691 писал(а):

Как получить правильный результат?

Тут уже много умных и правильных вещей наговорили, но я всё-таки добавлю ещё ссылку на десятый том ЛЛ, параграф 22 (хотя в целом, конечно, практически в любом учебнике по стохастической динамике можно найти что-то подобное). Идея, грубо говоря, в том, что усреднение идёт в два этапа: а) по распределению скоростей и б) по углам (для этого уже надо решать задачу рассеяния).