Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций

[thething]

Sdy
Вы же берете линейную комбинацию и приравниваете ее тождественно нулю. Т.е. получается многочлен тождественно равный нулю, т.е. имеющий бесконечное число корней

-- 18.01.2018, 13:26 --

Ход мыслей -- под оффтопом.

(Оффтоп)

Рассмотрим многочлен $f(t)=\lambda_0+\lambda_1{t}+...+\lambda_n{t^n}$. Если многочлен нетривиален, то он имеет не более $n$ корней. У нас же комбинация $f(t)\equiv{0}$, т.е. наш многочлен имеет бесконечно много корней. Если бы он был нетривиален, то получили бы противоречие. Вывод -- он тривиален.

P.s. Кстати, можно реализовать идею и с переносом чего-то по сторонам и сравнением числа корней, если, например, записать так: $t^n=\tau_0+\tau_1{t}+...+\tau_{n-1}{t^{n-1}}$. Тут уж точно с одной стороны корни есть и их достаточно много, чтобы получить противоречие. Только оформить рассуждения надо, с нюансами

[Sdy]

thething
Тогда, как я понимаю, мне нужно доказать утверждение о количестве корней. Вот попытка :
Докажем, что если многочлен $f(t)\equiv0$, то все его коэффициенты равны нулю.
<Если многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю $\forall t$. Возьмем $t = 1$, получим, что $f(1) \equiv \lambda_{0} + \lambda_{1} + ... + \lambda_{n-1} \equiv 0 $. Но две константые функции совпадают на промежутке только при условии, что они равны. Но тогда все коэффициенты равны нулю, а значит линейная коминация тривиальна, то есть искомые функции линейно независимы.>

[thething]

Вы опять чего-то мудрите, ход доказательства я изложил в оффтопе, просто получаете противоречие со следствием из теоремы Безу. Если многочлен тождественно равен нулю, то он имеет бесконечное число корней (любая точка отрезка -- есть корень), и доказывать тут нечего.

P.s. В Ваших рассуждениях сумма констант равна нулю, что не означает равенства нулю каждой константы.

[Sdy]

thething в сообщении #1285376 писал(а):

В Ваших рассуждениях сумма констант равна нулю, что не означает равенства нулю каждой константы.

Я вас понял. Ведь возьмем $\lambda_{0} = -\lambda_{1}$, остальные равные нулю и всё равно будет тождественный нуль.
Я должен уметь доказывать любое используемое утверждение, тут уж ничего не поделаешь, значит нужно еще подумать. Тот факт, что тождественно равный нулю многочлен имеет $\infty$ число корней - мне ясен. Как из этого следует, что все коэффициенты должны быть равны нулю - пока нет.

[thething]

А вот как следует: если бы не все коэффициенты были равны нулю, то многочлен был бы нетривиален, т.е. имел бы не более, чем конечное число корней. Противоречие.

-- 18.01.2018, 17:04 --

Можете рассуждать так: по теореме Безу всякий нетривиальный многочлен может иметь лишь конечное число корней. Поэтому, если какой-то многочлен имеет бесконечное число корней, то он не может быть нетривиальным. Просто от противного. Следовательно, он тривиален.

[Sdy]

thething
Всё, прояснилось через пару минут после моего сообщения, но я уже опоздал.
Спасибо вам и всем, кто помогал в теме, теперь всё ясно.