Неравенство 18.

[TR63]

Решаю древнее неравенство из "Олимпиадного раздела", которое там то ли решено, то ли нет. Не поняла. А именно:
Для неотрицательных $(a;b;c)$, попарно неравных нулю, доказать неравенство:

$\sqrt[3]{\frac{a}{2b+25c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{2c+25a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{2a+25b}}\ge1$

У меня есть тривиальная идея (трюк), как решать это неравенство при $a\ge b\ge c$. Но возник вопрос: будет ли она работать для остальных случаев. Проверила ещё для $b\ge a\ge c$. Работает. Но областей много. Возможна техническая ошибка. Поэтому прошу проверить как для указанных областей, так и для остальных. Это техническая работа. Её можно делать с Вольфрамом. Главное, не ошибиться при наборе.
Конечно, сам по себе, трюк, как было сказано в источнике, мало интересен. Но меня интересует, при каких условиях решение (или для этой задачи трюк) из одной области распространяется на другие области. Здесь это можно выяснить перебором. А можно ли результат предвидеть без перебора?
Сам трюк состоит в следующем:
Пусть имеется функция $f(a,b,c)$, для которой возможна гомогенизация. Для области $a\ge b\ge c$ работает трюк:

$1\ge k_1\ge k_2$

$b=k_1a$

$c=k_2a$

$f(k_1;k_2)=f_1+f_2+f_3-1$

$\Phi_1=f_1+2f_2-1\ge0$, $\Phi'_{k_2}(<0,>0)$

$\Phi_2=f_1+2f_3-1\ge0$, $\Phi'_{k_1}(<0,>0)$

$f=\frac1 2(\Phi_1+\Phi_2)\ge1$

Вопрос: работает ли этот трюк для остальных областей.
Если лень проверять все, можно проверить хотя бы ещё одну область (это стандартная задача). Вдруг получится доказать древнее неравенство. И для моего вопроса польза будет.
Замечание: главное, что частная производная (первая, вторая не изменяет знак и неравенство достаточно проверять лишь на концах).

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Прочёл "Неравенство 18+". Долго представлял себе...

А просто произнести волшебную формулу: "Поскольку при перестановке a, b, c выражение не меняется, не теряя общности, рассмотрим лишь случай $a\ge b\ge c$" ?

[TR63]

Это вряд ли. Да и ТС из источника забраковал такую идею. Евгений Машеров, если Вы начнёте решать вспомогательные неравенства, то сможете убедится сами, что это Ваше рассуждение не обосновано. Надо рассматривать все области по отдельности или изобрести обоснование достаточности исследования одной области.
Для начала надо проверить первую область. Может я и ошиблась.

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1285324 писал(а):

Поскольку при перестановке a, b, c выражение не меняется,

При нечетной перестановке меняется, в знаменателях же у буков разные коэффициенты :)

[EUgeneUS]

wrest

(Оффтоп)

Какие-то странности творятся в этой теме.
Первым ответом было как раз указание, что достаточно рассмотреть два случая, так как при циклических перестановках не меняется.
Но этот пост куда-то пропал...

[Евгений Машеров]

Да, действительно, надо два случая рассмотреть.

[eugensk]

EUgeneUS в сообщении #1285347 писал(а):

wrest

(Оффтоп)

Какие-то странности творятся в этой теме.
Первым ответом было как раз указание, что достаточно рассмотреть два случая, так как при циклических перестановках не меняется.
Но этот пост куда-то пропал...

(Оффтоп)

Я написал, потому что сперва мне показалось, что ТС этот момент просто просмотрел. Потом я понял, что мне показалось, и я свой пост удалил. Давайте повышать уровень форума, "не теряя общности" должно быть в словаре у каждого сюда пишущего. Если бы можно было сделать такую капчу, было бы совсем хорошо, но увы

[TR63]

Две области проверить проще, чем проверять много областей. Спасибо.
Т.е., если я правильно поняла, остаётся проверить, действительно ли трюк работает в двух областях. (Что-то тогда получается слишком просто. Ведь ТС в источнике обещал большие технические сложности.)