2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Sdy
Вы же берете линейную комбинацию и приравниваете ее тождественно нулю. Т.е. получается многочлен тождественно равный нулю, т.е. имеющий бесконечное число корней

-- 18.01.2018, 13:26 --

Ход мыслей -- под оффтопом.

(Оффтоп)

Рассмотрим многочлен $f(t)=\lambda_0+\lambda_1{t}+...+\lambda_n{t^n}$. Если многочлен нетривиален, то он имеет не более $n$ корней. У нас же комбинация $f(t)\equiv{0}$, т.е. наш многочлен имеет бесконечно много корней. Если бы он был нетривиален, то получили бы противоречие. Вывод -- он тривиален.


P.s. Кстати, можно реализовать идею и с переносом чего-то по сторонам и сравнением числа корней, если, например, записать так: $t^n=\tau_0+\tau_1{t}+...+\tau_{n-1}{t^{n-1}}$. Тут уж точно с одной стороны корни есть и их достаточно много, чтобы получить противоречие. Только оформить рассуждения надо, с нюансами

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 14:10 


07/08/16
328
thething
Тогда, как я понимаю, мне нужно доказать утверждение о количестве корней. Вот попытка :
Докажем, что если многочлен $f(t)\equiv0$, то все его коэффициенты равны нулю.
<Если многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю $\forall t$. Возьмем $t = 1$, получим, что $f(1) \equiv \lambda_{0} + \lambda_{1} + ... + \lambda_{n-1} \equiv 0 $. Но две константые функции совпадают на промежутке только при условии, что они равны. Но тогда все коэффициенты равны нулю, а значит линейная коминация тривиальна, то есть искомые функции линейно независимы.>

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Вы опять чего-то мудрите, ход доказательства я изложил в оффтопе, просто получаете противоречие со следствием из теоремы Безу. Если многочлен тождественно равен нулю, то он имеет бесконечное число корней (любая точка отрезка -- есть корень), и доказывать тут нечего.

P.s. В Ваших рассуждениях сумма констант равна нулю, что не означает равенства нулю каждой константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 14:53 


07/08/16
328
thething в сообщении #1285376 писал(а):
В Ваших рассуждениях сумма констант равна нулю, что не означает равенства нулю каждой константы.

Я вас понял. Ведь возьмем $\lambda_{0} = -\lambda_{1}$, остальные равные нулю и всё равно будет тождественный нуль.
Я должен уметь доказывать любое используемое утверждение, тут уж ничего не поделаешь, значит нужно еще подумать. Тот факт, что тождественно равный нулю многочлен имеет $\infty$ число корней - мне ясен. Как из этого следует, что все коэффициенты должны быть равны нулю - пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
А вот как следует: если бы не все коэффициенты были равны нулю, то многочлен был бы нетривиален, т.е. имел бы не более, чем конечное число корней. Противоречие.

-- 18.01.2018, 17:04 --

Можете рассуждать так: по теореме Безу всякий нетривиальный многочлен может иметь лишь конечное число корней. Поэтому, если какой-то многочлен имеет бесконечное число корней, то он не может быть нетривиальным. Просто от противного. Следовательно, он тривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 15:05 


07/08/16
328
thething
Всё, прояснилось через пару минут после моего сообщения, но я уже опоздал.
Спасибо вам и всем, кто помогал в теме, теперь всё ясно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group