О системах единиц

[Pphantom]

iifat в сообщении #1285266 писал(а):

Вроде ж specialist исправил свою ошибку, или я чего-то не заметил?

Да, это я прозевал.

[Cos(x-pi/2)]

Разумеется, подробное и последовательное обсуждение систем единиц топикстартеру следует посмотреть в уже приведённых на предыдущей странице источниках и пояснениях. Осмелюсь однако привести очень простой (и, как мне кажется, совершенно понятный) приём перевода формул из обычной системы с тремя основными размерностями $L,M,T$ в систему с $\hbar=1, \, c=1.$ Найти на него точную ссылку в книгах я поленился, поэтому привожу его описание примерно по конспекту лекций по "Квантовой электродинамике", которые нам в начале 1970-х читал В.В. Батыгин.

(переход к c = 1, h = 1)

Вводное наблюдение: в обычной системе единиц размерность постоянной Планка $\hbar$ есть $\text{энергия·время},$ размерность скорости света $c$ есть $\text{длина·время}^{-1},$ поэтому размерность $\hbar c$ есть $\text{энергия·длина}.$

Будем временно обозначать величины в новой системе единиц прежними буквами, но со штрихом (т.е. штрих здесь не будет означать производную функции. В конце всего построения штрихи у букв можно перестать писать).

Всякую величину с размерностью энергии в обычных единицах поделим на $\hbar c,$ тем самым получим величину с размерностью $\text{длина}^{-1}.$ Так, разделим на $\hbar c$ обычное выражение для энергии $\varepsilon$ релятивистской частицы: $\varepsilon=\sqrt{(\mathbf{p}c)^2+(mc^2)^2}.$ Получим:

$\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{\hbar c}=\sqrt{\left (\dfrac{\mathbf{p}}{\hbar}\right )^2+\left (\dfrac{mc}{\hbar} \right )^2}.$

Видно, что если ввести в дело импульс и массу со штрихами так:

$\mathbf{p}'=\frac{\mathbf{p}}{\hbar}$ (получился волновой вектор $\mathbf{k}$, его размерность - обратная длина),

$m'=\frac{mc}{\hbar}$ (получилась обратная комптоновская длина волны частицы),

то формула для энергии со штрихом, т.е. в новой системе единиц, упрощается:

$\varepsilon'=\sqrt{\mathbf{p'}^2+m'^2}.$

(В ультрарелятивистском пределе, когда $p' \gg m',$ так что массой частицы можно пренебречь, имеем приближённые равенства:

$\varepsilon'=p'=k'=k=\frac{2\pi}{\lambda},$

т.е. зная энергию ультрарелятивистской частицы можем легко оценить её дебройлевскую длину волны $\lambda.)$



Для декартовых координат оставим прежнюю размерность (длина), а время станем измерять в единицах длины:

$t'=ct, \qquad \mathbf{r}'=\mathbf{r}.$

Тогда скорость $\mathbf{v}'$, определённая как $d\mathbf{r}' / dt',$ получается безразмерной:

$\mathbf{v}'=\frac{\mathbf{v}}{c},$

т.е. величина скорости измеряется теперь в долях от $c.$ Понятно, что при этом величина самой скорости света в долях от скорости света равна единице: $c'=c/c=1.$


В действии $S$, как в величине с обычной размерностью $\text{энергия·время},$ при переходе к штрихованному определению надо обычную энергию разделить на $\hbar c,$ а обычное время умножить на $c.$ Получается, что штрихованное действие измеряется в долях от $\hbar ,$ т.е. является безразмерным:

$S'=\frac{S}{\hbar}.$

Понятно, что при этом сам квант действия $\hbar$ в долях от кванта действия равен единице: $\hbar '=\hbar / \hbar = 1.$ Момент импульса имеет ту же размерность, что и действие, так что он теперь тоже безразмерен и измеряется в долях от $\hbar .$

Легко проверяется, что при переходе к уже введённым штрихованным величинам известные формулы релятивистской кинематики сохраняют свой вид с той только оговоркой, что теперь в них нет $c:$

$\varepsilon'=\frac{m'}{\sqrt{1-v'^2}},$

$\mathbf{p}'=\frac{m'\mathbf{v}'}{\sqrt{1-v'^2}}.$


Рассмотрим электрические заряды $e$ и потенциалы $\varphi,$ $\mathbf{A}.$

Выражение для кулоновской энергии $U=e^2/r$ поделим на $\hbar c$ и учтём, что $r'=r:$

$U'=\frac{U}{\hbar c}=\frac{e^2/ (\hbar c)}{r}=\frac{e'^2}{r'},$

где энергия $U'$ имеет размерность обратной длины, а штрихованный заряд безразмерен:

$e'^2=\frac{e^2}{\hbar c}.$

Если ввести штрихованный кулоновский потенциал формулой $\varphi'=e'/r',$ то формулами перехода к штрихованным потенциалам (с размерностью обратной длины) будут:

$\varphi'=\frac{\varphi}{\sqrt{\hbar c}} \, , \qquad \mathbf{A}'=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{\hbar c}} \, .$

Штрихованные электрическое и магнитное поля определяются через штрихованные потенциалы привычными формулами (но без $c):$

$\mathbf{E}'=-\nabla \varphi' - \frac{\partial \mathbf{A'}}{\partial t'}=\frac{\mathbf{E}}{\sqrt{\hbar c}},$

$\mathbf{B'}=\nabla \times \mathbf{A}' = \frac{\mathbf{B}}{\sqrt{\hbar c}}.$

(Легко проверить, что для силы также получается привычная формула:

$\mathbf{F}'=\frac{\mathbf{F}}{\hbar c}=e'\mathbf{E}'+e'[\mathbf{v' \times B}'].$

Формула $\mathbf{F}'=\frac{\mathbf{F}}{\hbar c}$ согласуется с формулой $\text{работа}'=\frac{\text{работа}}{\hbar c}=\frac{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{\hbar c}.)$

Закончив переход к новой системе единиц, уберём штрихи. Результат выглядит так, как будто к обычным формулам мы применили формальное правило: положили в них $\hbar=1, c=1.$

Для обратного перехода, к исходной системе единиц, можно восстановить во всех формулах штрихи и выразить штрихованные величины через нештрихованные, пользуясь указанными выше формулами.

[specialist]

По долгам:
вроде я разобрался:
Начнем:
$\textbf F \textbf =m \textbf a $
определим размерности в СИ:
$[ \textbf F ] = MLT^{-2} $
$[ m ] = M $
$[ \textbf a ] = LT^{-2} $
теперь рассмотрим систему единиц в которой скорость света стала безразмерной и равна единице (все физические величины в этой системе будем писать со штрихом):
$ c' = 1 $ из чего следует $[ c' ] = M^{0} L^{0} T^{0} =1 $. Так как в системе СИ размерность $[ c ] = LT^{-1} $, то чтоб в системе со штрихом её (скорость) обезразмерить, нужно домножить на коэффициент $ k $ с размерностью $[ k ] = L^{-1}T $, а для того чтоб еще в системе со штрихом, она (скорость) стала единицей, коэффициент $ k $ должен быть равен $ k = c^{-1} $. Ну тогда и получится переводная формула $ c' = 1=c k =c c^{-1} $.
Но это еще не все, по сути переходом в систему единиц где обезразмерели одну из мировых констант, мы уменьшили количество "основных единиц".

(отступление 1)

К слову говоря вот эти пары строк, самые важные в сообщении, на их понимание в учебнике Л.А. Сена "Единицы физических величин и их размерности." необходимо было несколько раз внимательно прочесть первую, вторую и седьмую главу, ну еще параграф 9.8, ну и отличным дополнением к седьмой главе послужило приложение книги Дж. Джексона "Классическая электродинамика":

Munin в сообщении #878986 писал(а):

...Системы единиц измерения строятся на основе каких-то основных единиц, и на их основе строятся производные единицы. При этом, производные единицы связываются с основными при помощи определяющих уравнений. Определяющее уравнение - это уравнение $x=a^\alpha b^\beta c^\gamma\ldots,$ где по правую сторону входят физические величины, единицы которых уже построены, а по левую - та величина, производную единицу которой хочется определить....

Следующим шагом мы должны (насколько я понял из книги Л.А. Сена) определиться с "основными единицами", видимо тут есть некоторый произвол, поэтому давайте определимся со временем:

(отступление 2)

Прекрасный поучительный пример, как происходит преобразование, но в не совсем ясно "почему мы так должны действовать?", но он отвечает на важные вопросы: как? и для чего?.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1285277 писал(а):

Разумеется, подробное и последовательное обсуждение систем единиц топикстартеру следует посмотреть в уже приведённых на предыдущей странице источниках и пояснениях. Осмелюсь однако привести очень простой (и, как мне кажется, совершенно понятный) приём перевода формул из обычной системы с тремя основными размерностями $L,M,T$ в систему с $\hbar=1, \, c=1.$ Найти на него точную ссылку в книгах я поленился, поэтому привожу его описание примерно по конспекту лекций по "Квантовой электродинамике", которые нам в начале 1970-х читал В.В. Батыгин.

"Обходя" некоторый произвол в переобозначении основных единиц в системе $ c' = 1 $ усилием воли и делая тоже движение руками что и в примере (насколько я понял вариантов много и все они равнозначные, но нужно выбрать те которые удобны нам):
Так как в системе со штрихом обезразмерилась скорость света, то обезразмерились и все скорости, поэтому вспомним определение скорости в системе без штриха: $ \textbf v = \frac{d\textbf r}{dt} $, тогда в системе со штрихом $ \textbf v' = \frac{1}{c}\frac{d\textbf r}{dt} $ и скорость уже обезразмерена. Так вот следующий шаг, он и есть волевой, мы можем переобозначить: либо радиус-вектор: $ \textbf r' = (\frac{1}{c} \textbf r ) $, где $ [\textbf r' ] = T $, а основную единицу времени оставить туже самую (размерность не меняется), либо время: $ t' = (tc) $, где $ [t' ] = L $, а основную единицу расстояния оставить туже самую (размерность не меняется). Силой воли остановимся на последнем варианте. Тогда $ \textbf r' = \textbf r $, $ \textbf v' =\frac{d\textbf r'}{dt'}= \frac{d\textbf r}{dct} $, тогда ускорение переопределяется как: $ \textbf a' = \frac{d\textbf v'}{dt'}=\frac{d\textbf v'}{dct} $, а его размерность будет $[ \textbf a' ] = L^{-1} $.
Тогда второй закон Ньютона в системе единице со штрихом будет:
$\textbf F' \textbf =m' \textbf a' $
где размерности:
$[ \textbf F' ] = ML^{-1} $
$[ m' ] = M $
$[ \textbf a' ] = L^{-1} $
Думаю пример решен.

(отступление 3)

iifat в сообщении #1285104 писал(а):

В чём в СГС измеряется сила?

Если не врет википедия, то историческое название единицы измерения силы в СГС - Дина.

iifat в сообщении #1285266 писал(а):

Считаете, мы движемся не туда?

Думаю как раз туда, благодаря в учебнику Л.А. Сена я понял на что вы намекали, на природу появления переводных коэффициентов (те которые про килограммы) в общем случае, оставалось только разобраться и внимательно читать учебник.

Всем большое спасибо за помощь, все книги, советы, примеры, подсказки - очень помогли.

[Cos(x-pi/2)]

specialist в сообщении #1286177 писал(а):

поучительный пример, как происходит преобразование, но в не совсем ясно "почему мы так должны действовать?"

Мы не обязаны именно так действовать. Просто в том приёме подразумевалось, что человек привык к квантовым формулам, в которых импульс частицы ассоциируется с (обратной) дебройлевской длиной волны, а масса - с (обратной) комптоновской длиной волны, и поэтому мы действовали так, как будто в роли одной основной размерности решили сохранить длину $L.$

Но можно с тем же результатом преобразовывать формулы любым способом. Например, будем стремиться преобразовать их к виду с одной основной размерностью $M:$

(другой переход к c=1, h=1)

В обычной релятивистской $LMT$-формуле для энергии $\varepsilon$ частицы выношу из под корня $c^2$ и делю это выражение (и так же буду делить вообще всякое обычное выражение для энергии) на $c^2,$ чтобы там осталась масса частицы без всяких коэффициентов:

$\varepsilon '=\dfrac{\varepsilon}{c^2}=\sqrt{\left (\dfrac{\mathbf{p}}{c} \right )^2+m^2}.$

Видно, что если ввести в дело импульс и массу со штрихами так:

$\mathbf{p}'=\frac{\mathbf{p}}{c}$

$m'=m,$

то формула для энергии со штрихом, т.е. в новой системе единиц, упрощается:

$\varepsilon'=\sqrt{\mathbf{p'}^2+m'^2}.$


Беру теперь выражения с размерностью действия, делённые на постоянную Планка с размерностью действия, и перехожу в них к свежеиспечённым штрихованным энергии и импульсу. Такие безразмерные выражения встречаются в роли фазы волновых функций в квантовой физике:

$\dfrac{\varepsilon t}{\hbar}=\dfrac{\varepsilon}{c^2} \cdot \dfrac{c^2 t}{\hbar}=\varepsilon ' t'\,,$

где, как видим,

$t'=\dfrac{c^2t}{\hbar}.$

И аналогично:

$\dfrac{\mathbf{p \cdot r}}{\hbar} = \dfrac{\mathbf{p}}{c} \cdot \dfrac{c \, \mathbf{r}}{\hbar}=\mathbf{p' \cdot r'},$

где, как видим,

$\mathbf{r}'= \dfrac{c \, \mathbf{r}}{\hbar}.$

Тогда скорость опять получается безразмерной: $\mathbf{v}'=\dfrac{\mathbf{v}}{c}\, .$


Выражение для кулоновской энергии $U=e^2/r$ делю на $c^2$ и учитываю, что $r'=cr/ \hbar :$

$U'=\dfrac{U}{c^2}=\dfrac{e^2/ (\hbar c)}{r'}=\dfrac{e'^2}{r'},$

где энергия $U'$ имеет размерность массы, а штрихованный заряд опять безразмерен:

$e'\,^2=\dfrac{e^2}{\hbar c}.$


Ну и так далее. Т.е. со всякой длиной из предыдущего перехода к $c=1, \, \hbar=1$ теперь ассоциируется масса, как если бы всякая длина была комптоновской длиной волны для некоей массы.

Формулы в результате по-прежнему выглядят так, как будто к обычным формулам мы применили формальное правило: положили в них $\hbar=1, c=1.$


------------------------------------------
UPD:

Заодно ещё пример - сведём всё к основной размерности "энергия", как если бы всякую массу мы умножали на $c^2$ и тем самым выражали в единицах энергии. Вернёмся к исходным обычным формулам и положим:

$\varepsilon ' = \varepsilon,$

$m'=mc^2,$

$\mathbf{p}'=\mathbf{p}c.$

Тогда формула для энергии упрощается:

$\varepsilon'=\sqrt{\mathbf{p'}^2+m'^2}.$


Беру безразмерные выражения с размерностью действия, делённые на постоянную Планка с размерностью действия, и перехожу в них к свежеиспечённым штрихованным энергии и импульсу:

$\dfrac{\varepsilon t}{\hbar}=\varepsilon ' \cdot \dfrac{t}{\hbar}=\varepsilon ' t'\,,$

где, как видим,

$t'=\dfrac{t}{\hbar} \, .$

И аналогично:

$\dfrac{\mathbf{p \cdot r}}{\hbar} = \mathbf{p} c \cdot \dfrac{ \mathbf{r}}{\hbar c}=\mathbf{p' \cdot r'},$

где, как видим,

$\mathbf{r}'= \dfrac{\mathbf{r}}{\hbar c}.$

Тогда скорость опять получается безразмерной: $\mathbf{v}'=\dfrac{d \mathbf{r}'}{dt'}=\dfrac{\mathbf{v}}{c}\, .$


В выражении для кулоновской энергии $U=e^2/r$ учитываем, что $r=r' \hbar c :$

$U'=U=\dfrac{e^2/ (\hbar c)}{r'}=\dfrac{e'^2}{r'},$

где расстояние $r'$ (как и время $t')$ имеет размерность обратной энергии, а штрихованный заряд опять безразмерен:

$e'\,^2=\dfrac{e^2}{\hbar c}.$

Формулы в результате по-прежнему выглядят так, как будто к обычным формулам мы применили формальное правило: положили в них $\hbar=1, c=1.$

[Munin]

Кроме рецепта Батыгина есть рецепт Фейнмана.

Фейнмановские лекции по физике, вып. 2, гл. 17 § 2:
(например, здесь: https://t-library.org.ua/read.php?mode=image&id=3541&file=3488&page=41 )

(Оффтоп)