О системах единиц

[specialist]

Вообщем, начал читать я книжку (Рубаков. Классические калибровочные поля. Бозонные теории), прочел первую главу, вопросов особенно не возникло, начал читать вторую. Началась она с системы единиц, где значения постоянной Планка и скорости света приняты $ \hbar = c = 1 $. Ну и задачки под первым параграфом. Так вот, какую книжку для изучения основ КТП ни возьми (скажем из раздела post737296.html#p737296 , ну и другие книжки), везде будет принята какая-нибудь "система естественных единиц измерений", обосновывается это, тем что для теор.физики коэффициенты смысла особенного не представляют, но загромождают формулы.
Как инженеру, мне чуть-чуть не удобно, рассматривать не в "СИ", долгое время я закрывал глаза на задачи перевода формул из "СИ" в другие системы измерения или системы единиц,тут мое терпение закончилось и захотелось научиться свободно общаться в любых системах.
Так как в учебниках по КТП, было написано в таком стиле, "что переход из нашей удобной системы единиц в другую, дело тривиальное", первым делом подумал "значит написаны тысячи книг где уже все разжевано" и полез в справочники (Яворский, Корн и.т.д), там нашел только справочные данные, как переводить формулы не нашел, тогда вспомнил что нечто подобное было в курсе физике, открыл Савельева, там было пара страниц про размерности, в принципе, стало понятно как переводить что-то простое из одно системы измерения в другую: просто составляется формула размерности данной величины, и для перевода в другую систему исходная формула умножается на коэффициент пропорциональности.
Однако все просто, ну или не очень, когда мы имеем дело с системами измерения, а вот системы единиц или "системы естественных единиц измерений" для меня представляют сложность. Мне не понятно как перевести формулу если скажем взять и сказать: $ c = 1 $, тогда как скажем будет выглядеть формула второго закона Ньютона в этой системе единиц?
Тогда я начал копать литературу именно по этому вопросу, накопал только две книги: Л.И. Седов "методы подобия и размерности в механике" и К.А. Томилин "Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспекте". Первая книга была особенно полезна, в ней была "общая теория размерности" она разъяснила: что подобные системы единиц вводятся для упрощения расчетов, тогда как получается результат в виде числа, вот тут-та его и переводят в СИ, однако примера этому не последовало. Вторая книга была скорее монографией с историческим анализом. Так же я подумал, ну значит я найду старый учебник по КТП, когда старались излагать яснее, и найти этот переход, к новым системам единиц, но я его не нашел (скажем в ОТО этот переход значительно проще заметить, в том же МТУ есть и выражения и СИ, в ЛЛ2 в Гауссовской системе, а вот КТП сразу начинается с $ \hbar = c = 1 $ ). Хоть вроде бы в 1963 (ГОСТ 9867-61) году все науки СССР договорились быть в СИ, теор. физика это проигнорировала.
Так как заиметь скилл "понимать формулы в любых системах единиц" крайне полезно, прошу помочь, желательно ткнуть в книгу с примерами, перехода из СИ в Планковскую или в другие естественные системы. Можете сами привести поучительный пример, перевода простой формулы туда и обратно, а я это закреплю на сложной.
Ну и чтоб тема не улетела в мусорку, попробую сам перевести формулу второго закона Ньютона в систему с $ c = 1 $:
Начнем:
$\textbf F \textbf =m \textbf a $
определим размерности в СИ:
$[ \textbf F ] = MLT^{-2} $
$[ m ] = M $
$[ \textbf a ] = LT^{-2} $
теперь введем условие $ c = 1 $ из него следует:
$[ c =1 ] = LT^{-1} $ тогда, $ L=T $
из чего следует двоякость:
$[ \textbf F ] = MT^{-1} $ или $[ \textbf F ] = ML^{-1} $
$[ m ] = M $
$[ \textbf a ] = L^{-1} $ или $[ \textbf a ] = T^{-1} $
по идее следующим шагом я должен сказать: формула останется той же самой $\textbf F \textbf =m \textbf a $ , но, размерности силы и ускорения изменились, из этого следует, что и численно они тоже изменились, причем на определенный коэффициент. Вот тут начинаются проблемы, я не понимаю как вычислить этот коэффициент. Надеюсь на вашу помощь.

[iifat]

specialist в сообщении #1285002 писал(а):

из чего следует двоякость:
$[ \textbf F ] = MT^{-1} $ или $[ \textbf F ] = ML^{-1} $

Где именно двоякость-то? Если

specialist в сообщении #1285002 писал(а):

$ L=T $

Почему б вам не начать с чего попроще. Например, СИ в СГС попереводить.

[specialist]

iifat в сообщении #1285005 писал(а):

specialist в сообщении #1285002 писал(а):

из чего следует двоякость:
$[ \textbf F ] = MT^{-1} $ или $[ \textbf F ] = ML^{-1} $

Где именно двоякость-то? Если

specialist в сообщении #1285002 писал(а):

$ L=T $

Почему б вам не начать с чего попроще. Например, СИ в СГС попереводить.

1) Сила имеет две размерности, для меня не обычно.
2)Окей:
В СИ: $\textbf F =m \textbf a $
В СГС: $\textbf F =m \textbf a $
даже формулы размерностей те же, но СГС - сантиметр грамм секунда, поэтому, чтоб перевести силу из СИ в СГС нужно домножить на $ 0.001$ (чтоб в граммы) и на $ 0.01$ (чтоб в сантиметры) и тогда:
$\textbf F _{CGS} = (\textbf F_{SI})10^{-5} $
сойдет?

[lek]

specialist в сообщении #1285002 писал(а):

прошу помочь, желательно ткнуть в книгу с примерами, перехода из СИ в Планковскую или в другие естественные системы.

Окунь, "Физика элементарных частиц" (стр. 141-149).

[iifat]

specialist в сообщении #1285015 писал(а):

Сила имеет две размерности

Сила имеет одну размерность. Обозначаемую двумя разными буквами.

specialist в сообщении #1285015 писал(а):

нужно домножить на $ 0.001$ (чтоб в граммы) и на $ 0.01$ (чтоб в сантиметры)

Я вас правильно понял, масса килограммовой гири составляет 0,001 грамма?

[specialist]

iifat в сообщении #1285022 писал(а):

Я вас правильно понял, масса килограммовой гири составляет 0,001 грамма?

Вы правильно поняли, что я ошибся (торопился), благодарю. Тоды $\textbf F _{CGS} = (\textbf F_{SI})10^{5} $.

[iifat]

Вообще говоря, нет. $(ma)_{CGS}=10^5(ma)_{SI}$, да. В чём в СГС измеряется сила? Вряд ли в ньютонах.

[Munin]

Munin в сообщении #877766 писал(а):

Это дело довольно замороченное. В Википедии есть два места, сопоставляя которые, можно разобраться:
http://en.wikipedia.org/wiki/Centimetre-gram-second_system_of_units#Electromagnetic_units_in_various_CGS_systems
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_units#General_rules_to_translate_a_formula
(И http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_units#List_of_equations может пригодиться.)

Тж. см. приложение к
Джексон. Классическая электродинамика.



Munin в сообщении #877822 писал(а):

Да, в справочнике "Энергоатомиздата" (под ред. Григорьева и Мейлихова) есть таблички. Ещё в
Чёртов. Единицы физических величин.
есть. Но они там без комментариев, и поэтому я намеренно такие ссылки не давал.

Я давал ссылки на такие источники, где объяснены принципы. По сути, с SI и СГС встречаются две задачи:
1. Дана формула - перевести её в другую систему.
2. Дано значение физической величины - перевести её в другую систему.

Вторая задача - легко решается, по крайней мере, для "технических" единиц (труднее с теоретическими: действие, эйконал, тензор энергии-импульса и т. п.). Первая более замысловатая. Бывают сравнительные списки формул в той и другой системе. Но их не хватает - всегда встретится формула, которую не учли. Поэтому полезно копнуть всё-таки в принципы.



Munin в сообщении #877924 писал(а):

Ещё хорошие комментарии (хотя и краткие, пара страничек) есть в
Окунь. Физика элементарных частиц. Приложение 1. О системах физических единиц.



Munin в сообщении #878986 писал(а):

Вкратце так.

Системы единиц измерения строятся на основе каких-то основных единиц, и на их основе строятся производные единицы. При этом, производные единицы связываются с основными при помощи определяющих уравнений. Определяющее уравнение - это уравнение $x=a^\alpha b^\beta c^\gamma\ldots,$ где по правую сторону входят физические величины, единицы которых уже построены, а по левую - та величина, производную единицу которой хочется определить. Заметьте, что это частный случай более общего уравнения $x=ka^\alpha b^\beta c^\gamma\ldots,$ где $k$ - какой-то коэффициент, вообще говоря, размерный. В определяющих уравнениях он полагается как раз равным единице. Тогда эту производную единицу называют когерентной (и всю систему единиц могут называть когерентной). (Бывают некогерентные системы единиц, но сейчас речь не о них.)

Ясно, что в выборе определяющих уравнений заложен произвол. Какие-то уравнения можно выбрать с единичными коэффициентами, а какие-то нет. Допустим, мы не ввели ещё единицы для ускорения, но имеем единицы для длины ("ед. L"), времени ("ед. T"), скорости ("ед. V"="ед. L"/"ед. T"). Мы можем использовать уравнение для равноускоренного движения $a=k_1 v/t,$ а можем - для того же движения $a=k_2 s/t^2.$ Если мы положим $k_1=1$ (привычный нам выбор), то получим $k_2=2,$ но если мы сделаем другой выбор, то при $k_2=1$ мы будем иметь $k_1=1/2,$ и наша единица ускорения окажется вдвое большего размера.

В то время, как с механическими единицами выбор определяющих уравнений довольно прост и очевиден, но с электромагнитными единицами это не так.
1. Во-первых, можно выбирать в качестве определяющих как интегральные, так и дифференциальные уравнения, например, $\operatorname{div}\mathbf{E}=(1;4\pi)\,\rho$ или $E=\dfrac{q}{(4\pi;1)\,r^2}.$ Выбор будет отличаться на коэффициенты $4\pi,$ связанные с интегрированием по сфере, и с площадью сферы. (При некоторых выборах возможны и коэффициенты $2\pi.$)
2. Во-вторых, в отличие от классической механики, в электродинамику заложена мировая константа размерности $\mathrm{LT^{-1}}$ - скорость света. Поскольку в механические единицы, появлявшиеся в 17-18 веке (а секунда ещё раньше), скорость света не была заложена, единицы длины и времени не были связаны. Вариантов, как поступить, было несколько, например:


2.1. Определить из механических единиц → электрические, а из них → магнитные. Этот вариант называется СГСЭ.
2.2. Определить из механических единиц → магнитные, а из них → электрические. Этот вариант называется СГСМ.
2.3. Определить из механических единиц → электрические. Независимо определить из механических единиц → магнитные. Этот вариант называется СГС Гаусса, или просто СГС. В одной части он совпадает с СГСЭ, в другой - с СГСМ, а уравнения, связывающие электричество и магнетизм, получают ещё отдельный коэффициент $c.$
2.4. Ввести новую основную единицу, например, магнитную, задав её эталон. Определить из магнитных единиц → электрические. Таким путём определяется система СИ.
2.5. Ввести две новых основных единицы... к счастью, до этого дело не дошло :-)


Первый пункт имеет специальное название: выбор законов Кулона (для электричества и магнетизма) без коэффициентов $4\pi$ называется нерационализованным видом уравнений (и системы единиц), и при этом коэффициенты $4\pi$ появляются в уравнениях Максвелла. Уравнения Максвелла считаются более фундаментальными, а законы Кулона - их следствие. Наоборот, если уравнения Максвелла не содержат $4\pi,$ а законы Кулона (и некоторые другие) содержат, то этот вариант называется рационализованным видом уравнений. Хотя слово и заносчивое, на самом деле работать так или иначе - дело привычки. Система СГС - нерационализованная, а СИ - рационализованная. Кстати, есть ещё одна система единиц: Хэвисайда (Хэвисайда-Лоренца), она рационализованная, как СИ, а в остальном похожа на Гауссову. Она используется в некоторых разделах теоретической физики наряду с СГС.

Формально можно превратить рационализованные уравнения в нерационализованные и обратно, если заменить в них вхождения переменных, скажем, $\mathbf{E}$ на $\sqrt{4\pi}\mathbf{E}.$ Надо иметь в виду, что эта замена не сохраняет количественно величину $\mathbf{E},$ например, 1 статВольт/см вовсе не равен $1/\sqrt{4\pi\varepsilon_0}=3\sqrt{10}\cdot 10^{6}\text{ В}/\text{м}$ - на самом деле, он равен $3\cdot 10^{4}\text{ В}/\text{м}.$ Но если совершить такую замену одновременно во всех переменных, то вся формула целиком превратится в корректную формулу в другой системе единиц. Эти правила надо понимать в этом смысле.

Теперь, с какого потолка берутся величины $\varepsilon_0$ и $\mu_0.$ Определение СИ выглядит довольно диким:


Цитата:

Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную $2\cdot 10^{-7}\text{ Н}.$

На самом деле, исторически первыми возникли единицы СГС (СГСЭ и СГСМ, а потом и СГС Гаусса). Они были построены из сантиметра, грамма и секунды на основе законов Кулона и Ампера:


Цитата:

Франклин (единица электрического заряда СГСЭ) равен электрическому заряду, который действует на равный заряд на расстоянии 1 см в вакууме с силой в 1 дин. Био (единица электрического тока СГСМ) равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и бесконечно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 см один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1 см силу взаимодействия, равную 2 дин.

Но эти единицы оказались неудобными для технического применения, и электрики в 19 веке приняли практические единицы (отсюда и СИ иногда называют практической системой единиц):


Цитата:

1 ом = $10^{9}$ единиц сопротивления системы СГСМ,
1 вольт = $10^{8}$ единиц электродвижущей силы системы СГСМ,
1 ампер = 0,1 единицы силы тока системы СГСМ,
1 фарада = $10^{9}$ единиц электрической емкости системы СГСМ.
1 генри = $10^{9}$ единиц индуктивности системы СГСМ.

Это привело к добавлению десятичных коэффициентов в законы Кулона и Ампера, по сравнению с определениями био и франклина. Кроме того, туда же добавились $4\pi$ из-за рационализации систем единиц, и $c$ из-за физического соотношения между электрическими и магнитными полями. Можно было бы оставить $c$ как явно входящий в уравнения коэффициент, но было решено по-другому, сделать уравнения электрические и магнитные уравнения "аналогичными" друг другу. В результате получилось
Определение (в системе СИ)


$$\{\mu_0\}=4\pi\cdot 10^{-7}\quad(\approx 1{,}257\cdot 10^{-6})$$

$$\{\varepsilon_0\}=\left\{\dfrac{1}{\mu_0 c^2}\right\}=\dfrac{10^{7}}{4\pi\cdot\{c\}^2}\quad\left(\approx\dfrac{10^{7}}{4\pi\cdot(2{,}998\cdot 10^{8})^2}\approx 8{,}854\cdot 10^{-12}\right)$$

где фигурные скобки означают численное значение величины (здесь выраженное в системе СИ). Вот если подставить эти определения в формулы СИ, то получатся (с заменой единиц измерения с соответствующими масштабными коэффициентами) формулы СГС.

Например, формула для удельной электрической проводимости в СИ выглядит как $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$ По правилам перевода формул, получаем в Гауссовой:


$$\sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,\mathbf{j}=4\pi\varepsilon_0\,\sigma\cdot\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}\,\mathbf{E}\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$$

С другой стороны, если брать коэффициенты перевода, то будет


$$(10^{-1}\{c\})\cdot(10^{-2})^2\,\mathbf{j}=(10^{-11}\{c\}^2)\,\sigma\cdot(10^6\{c\}^{-1})\,\mathbf{E}\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$$

Оба варианта привели к одинаковому по форме результату, причём по форме совпадающему с формулой в СИ. (Надо понимать, что оговорка "по форме" важна, поскольку в первом варианте фактически величина $\mathbf{j}$ уменьшилась на 10 порядков, величина $\sigma$ - на 17 порядков, а величина $\mathbf{E}$ - увеличилась на 7 порядков. В итоге все эти изменения сократились.)




Munin в сообщении #1102483 писал(а):

(Добавлю, что


Цитата:

В первом случае кулоновский потенциал между двумя электронами имеет вид $e^2/r,$ во втором $e^2/4\pi r.$

- первый случай называется системой единиц Гаусса, а второй - Лоренца-Хевисайда (тж. просто Хевисайда и просто Лоренца).)

При этом, уравнение Гаусса, напротив, меняется от вида $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\,\rho$ к виду $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho.$

Замечу, что:
СГС в наиболее общепринятой форме - является системой Гаусса, а СИ - как ни парадоксально, Хэвисайда. Система Хэвисайда предпочтительней, когда мы не знаем точно размерности пространства-времени (то есть, в продвинутой теорфизике). Примеры: Ландау-Лифшиц написан в системе Гаусса, а Рубаков - в системе Хэвисайда.

[specialist]

lek в сообщении #1285017 писал(а):

Окунь, "Физика элементарных частиц" (стр. 141-149).

Я внимательно прочел, мне понятно, что применение других систем, в теор. физике обоснованно, так как появляются громоздкие коэффициенты. Так как примера процесса перевода из СИ в другие естественные системы единиц, там нет, а есть только готовый результат (он тоже полезен, но все таки, это не то), то мне не понятно что вы имели ввиду.

iifat в сообщении #1285022 писал(а):

Я вас правильно понял, масса килограммовой гири составляет 0,001 грамма?

У меня также к вам вопрос, можете подсказать, к чему вы ведете? Судя по вашим вопросам, я начал решать некорректный пример (пусть я с ошибкой решил, но это не означает, что я отступлю)? Мне сложно вас интерпретировать.
Правильно ли я догадываюсь, что в рассматриваемом примере численные значения ускорений: $\textbf a _{ (\hbar = c = 1)} = \textbf a_{SI}c^{-1} $
В СГС сила мерится, или как мне кажется должно мериться в $[\text{грамм}\frac{\text{сантиметр}}{\text{секунда}^2}] $, какое оно имеет историческое название я не знаю, а подглядывать не хорошо.

[amon]

Сена. Единицы физических величин и их размерности.

[Munin]

Munin в сообщении #1194723 писал(а):

wrest в сообщении #1194698 писал(а):

А на ваш взгляд, набор основных единиц в СИ нормальный?


Приемлемый. Жить можно.

Главное, что надо понимать:

1. СИ возникла в конце 19 - начале 20 века. (Если не отматывать к началу метрической системы мер, или вообще к Древнему Вавилону.) Соответственно, она возникала в реалиях того времени, и была им адекватна. Сегодня, например, странно смотрится, что в СИ не включён бит. Пусть и на тех же правах, что радиан.

2. СИ возникла для обслуживания научно-технических нужд. (При том, что раньше её ядро - метрическая система мер - предназначалась обслуживать бытовые нужды и торговлю. И у неё это успешно получалось.) Технические нужды она успешно обслуживает до сих пор. А вот научные сильно широко разошлись, и охватить их такой же компактной конструкцией, как СИ, уже абсолютно нереально.

3. Поэтому, главная беда с СИ - это её "неверотерпимость" - явно прописанный пункт, что не допускается использование никаких иных единиц и систем. Он присутствует и в самой SI, и во всех воплощающих её государственных стандартах. Де факто, на него плюют. Не будь этого пункта, был бы возможен "диалог" и "переговоры". Сейчас они довольно односторонни.

4. В то же время, к достоинствам СИ следует отнести, что она стремится идти в ногу с жизнью. Секунда и метр были переопределены на основе мировых констант и абсолютно воспроизводимых эталонов. Недавно попытались сделать то же самое с килограммом и молем. Пока не получилось, но видимо, к этому дело идёт. Это хорошо, то есть другие системы либо опираются на СИ, либо на свои более хорошо воспроизводимые эталоны, либо не опираются только тогда, когда их единицы невыразимы в СИ.

-- 17.01.2018 18:59:04 --

amon
В практическом плане Джексон куда полезней Сены.

[amon]

Munin в сообщении #1285146 писал(а):

В практическом плане Джексон куда полезней Сены.

Наверно, но мне Сена когда-то давно помог, вдруг и уважаемому specialist'у поможет.

[Pphantom]

specialist в сообщении #1285110 писал(а):

У меня также к вам вопрос, можете подсказать, к чему вы ведете? Судя по вашим вопросам, я начал решать некорректный пример (пусть я с ошибкой решил, но это не означает, что я отступлю)? Мне сложно вас интерпретировать.

Вы стабильно используете вместо правильных коэффициентов обратные к ним величины, соответственно, и результаты получаются "с точностью до наоборот".

[arseniiv]

Немного повторение уже написанного, но:

specialist в сообщении #1285015 писал(а):

1) Сила имеет две размерности, для меня не обычно.

В математике $a = b$ означает, что $a$ и $b$ — имена одного и того же объекта. Так что если мы постулировали $\mathrm L = \mathrm T$, никаких двух размерностей силы не получится. (Кстати, в релятивистской теории можно писать вместо L и T, скажем, I — размерность интервала — тогда не будет визуальной асимметрии.)

[iifat]

specialist в сообщении #1285110 писал(а):

подглядывать не хорошо

С чего б это? Вы не на экзамене.

specialist в сообщении #1285110 писал(а):

В СГС сила мерится, или как мне кажется должно мериться в $[\text{грамм}\frac{\text{сантиметр}}{\text{секунда}^2}] $

Очень может быть. И вполне возможно, что после перевода у вас получится

specialist в сообщении #1285025 писал(а):

$\textbf F _{CGS} = (\textbf F_{SI})10^{5} $

, и, стало быть, второй закон Ньютона в СГС выглядит точно так же. А может, и нет. Вполне возможно, что единица силы определяется по-другому, тем паче, что, как вам объяснил Munin, СГС — это целое гнездо систем. Посмотрите, это же вам интересно.

specialist в сообщении #1285110 писал(а):

можете подсказать, к чему вы ведете?

Конкретно — не могу. Я не могу по памяти переписать второй закон Ньютона в СГС, а смотреть лень. Но мне казалось, мы с вами таки к этому придём, а там уж можно и попытаться более сложную задачу решать. Считаете, мы движемся не туда?

Pphantom в сообщении #1285222 писал(а):

Вы стабильно используете вместо правильных коэффициентов обратные к ним величины

Вроде ж specialist исправил свою ошибку, или я чего-то не заметил?