Задачка для вашего школьника

[bot]

Найти все действительные решения системы уравнений:
$x=\frac{1}{2} (y+\frac{1}{y})$
Оставшиеся два уравнения получаем по циклу $(x,y,z)$

ЗЫ. По ошибке было целые вместо действительных.

[photon]

$(1,1,1)$

[bot]

Не хочу сказать, что поймал, но всё же (-1,-1,-1) тоже очевидно.

[photon]

bot писал(а):

Не хочу сказать, что поймал, но всё же (-1,-1,-1) тоже очевидно.

Истессно, и других нет.

[bot]

Не могу сказать, что это неправильно, но всё-таки неплоха задачка, а?
Ох, ёлы-палы, а причём здесь целые - исправляю.

[photon]

Ничего особенного. Как Вы решали?
Я сказал:
$2x=y+\frac{1}{y}$. Т.к. $x\subset\mathbb{Z}$, $y\subset\mathbb{Z}$, то $\frac{1}{y}\subset\mathbb{Z}$, а это значит, что $y$ может быть только $1$ или $-1$. Аналогично для $x,z$

[bot]

Ну спортил, спортил, а задачка всё же неплоха - см. исправленный вариант.

[Руст]

Задача очевидная. Случай отрицательных сводится к положительным изменением всех знаков. Далее из
$x-1=(y+1/y)/2-1=(y-1)^2/(2y)$ получаем, что каждое из чисел больше или равно 1. При этом если одно из них больше 1, то получаем x-1<y-1<z-1<x-1 (противоречие).

[bot]

С очевидностью не спорю, не забудьте посмотреть на заголовок.
Можно без преобразований:
1. Достаточно рассмотреть положительные
2. Пусть одна из переменных отлична от 1, тогда все больше 1.
3. Сложением всех уравнений получаем противоречие: $3<x+y+z = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<3$

К сожалению не знаю автора задачки.

[Xarezmi]

$ y=a$, zdes $a$ neravno nulyu,i $a\in \mathbb{Q}$ togda $x=(a^2+1)/(2*a) , z=((a^2+1)^2+4*a^2)/(4*a*(a^2+1))$ i znaya chto $y=1/2*(z+1/z)$, dostanem $7*a^8+28*a^6-14*a^4-20*a^2-1=0$ otsuda $(a^2-1)*(7*a^6+35*a^4+21*a^2+1)=0$ eto znachit chto $x=1,y=1,z=1$ i $x=-1,y=-1,z=-1$ i drgix net.