Лиса, Утка и озеро.

[Xey]

wrest в сообщении #1285062 писал(а):

так максимизируется угол между Уткой и Лисой в момент прибытия Утки на берег.

Да, в момент прибытия угол надо бы прямой, а старт по касательной (по спирали).
Вопрос в том , где изменить знак кривизны.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1285062 писал(а):

Вопрос, конечно, куда плыть Утке? Но тут уже вроде разобрались, что плыть надо по прямой, являющейся одной из касательных к кругу безопасности: так максимизируется угол между Уткой и Лисой в момент прибытия Утки на берег.

Вопрос в том, что касательных - две. Когда угол между лисой и уткой не равен $\pi$, выбор утки зависит от положения лисы, но не зависит от ее направления движения. Если угол равен $\pi$, то выбор утки зависит от направления движения лисы.

[wrest]

Xey в сообщении #1285075 писал(а):

Да, в момент прибытия угол надо бы прямой, а старт по касательной.
Вопрос в том , где изменить знак кривизны.

Вы из команды ещё не поверивших в то, что оптимальная траектория Утки - прямая?

[grizzly]

Xey в сообщении #1285075 писал(а):

Да, в момент прибытия угол надо бы прямой

Нет, не нужно. В какой-бы точке утка не повернула с касательной, ей будет хуже.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1285079 писал(а):

Если угол равен $\pi$, то выбор утки зависит от направления движения лисы.

Да, но этот момент мы вроде неоднократно разобрали.
Можно внести поправки:
-- Если угол равен $\pi$ то
- Утка поворачивает вектор скорости для движения радиально в сторону берега
- Лиса поворачивает вектор скорости для движения против часовой (ну, для определенности, чтобы не обсуждать генератор случайных чисел Лисы).

[grizzly]

wrest в сообщении #1285062 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1285029 писал(а):

Тут нужно заметить, что игра может начинаться с любой позиции утки вне круга безопасности, когда угол между лисой и уткой равен $\pi$.

Игре, чтобы начаться, по-моему не важно какой угол, может начинаться с любого :)
Вопрос, конечно, куда плыть Утке? Но тут уже вроде разобрались, что плыть надо по прямой, являющейся одной из касательных к кругу безопасности: так максимизируется угол между Уткой и Лисой в момент прибытия Утки на берег.

Это уже перебор. Очевидно, что не для любой начальной позиции выгоднее будет плыть по касательной. Например, в предельном случае будет выгоднее просто сделать шаг на берег.

[Geen]

Эх, всё хорошо, но круглое озеро - нереалистично... хотя бы эллипс рассмотреть.
И для утки максимизировать расстояние до лисы в момент выхода на берег (запас времени на "травку пощипать")

[rockclimber]

wrest в сообщении #1285003 писал(а):

rockclimber в сообщении #1284995 писал(а):

Это довольно тупая тактика для лисы, и я не уверен, что нелья найти лучше.

Ну, тут какое дело... Стратегии Лисы можно разделить на три группы

...

Вот теперь, кажется, до меня дошло окончательно У лисы не может быть никакой стратегии в принципе, так как при любой невыгодной для себя ситуации утка просто разворачивается и плывет в центр. Лисе остается только держаться как можно ближе.

[wrest]

grizzly в сообщении #1285087 писал(а):

Нет, не нужно. В какой-бы точке утка не повернула с касательной, ей будет хуже.

Тут какое дело... Если мы знаем что Утка выигрывает, так сказать, с запасом, то "оптимальных" разумных стратегий может быть две: минимизировать время до берега и максимизировать угол между Уткой и Лисой в момент причаливания. Первое может понадобиться если скажем скорость Утки на берегу много больше чем у Лисы (например Утка может и взлетать, но только на берегу, или Утка это заяц и на берегу движется быстрее Лисы), а второе -- если надо как можно больше провести времени на берегу (пощипать траву, скажем).
Но в обоих случая траектории будут прямые, это ясно.

[Sender]

grizzly в сообщении #1285089 писал(а):

Это уже перебор. Очевидно, что не для любой начальной позиции выгоднее будет плыть по касательной. Например, в предельном случае будет выгоднее просто сделать шаг на берег.

Дык касательная и упирается в этот самый берег. Надо просто не перепутать направление.

[wrest]

grizzly в сообщении #1285089 писал(а):

Например, в предельном случае будет выгоднее просто сделать шаг на берег.

Всё зависит от значения слова "выгодно".
Возможных позиций три:
1. Утка выигрывает "тютелька в тютельку". Стратегия: плыть по касательной.
2. Утка выигрывает "с запасом": тогда или по касательной для максимизации конечного угла или радиально для минимизации времени в воде.
3. Скорость Лисы меньше 4.6v, но Утка в данной позиции если плывет по касательной, то уже не успевает. Тогда Утка плывет к кругу безопасности и обнуляет игру, а затем уже к берегу.

Вот на случай 3 кажется что может быть и кривая, но надо все-таки определиться что значит "выгоднее".

-- 17.01.2018, 17:43 --

Geen в сообщении #1285095 писал(а):

Эх, всё хорошо, но круглое озеро - нереалистично... хотя бы эллипс рассмотреть.

Вот сейчас придет arseniiv и с магической легкостью покажет, что при аффинных преобразованиях прямые остаются прямыми, а значит...

-- 17.01.2018, 17:52 --

Geen в сообщении #1285095 писал(а):

хотя бы эллипс рассмотреть.

У Утки будет не круг безопасности а эллипс безопасности, и всех делов...
Кажется что начальная позиция должна быть когда Утка на вершине эллипса безопасности. Но может и нет, может Утке можно начинать с любой точки эллипса безопасности.

[grizzly]

wrest, Sender
Да, по касательной. Я почему-то понял те слова так, что по касательной к окружности, на которой она в данный момент находится. Проехали

-- 17.01.2018, 19:00 --

wrest в сообщении #1285103 писал(а):

У Утки будет не круг безопасности а эллипс безопасности, и всех делов...

Ух-ты, как просто! А параметры этого эллипса как-то легко находятся?

[wrest]

grizzly в сообщении #1285148 писал(а):

Ух-ты, как просто! А параметры этого эллипса как-то легко находятся?

Ну это предположение было, не принимайте за решение.
Но наверное также -- по равенству угловых скоростей (углы отсчитываем от центра эллипса), так что на первый взгляд вырисовывается гомотетия подобие.

[wrest]

Из очевидных вещей ясно, что максимальная скорость в случае эллипса будет зависеть от эксцентриситета, в пределе Лиса на берегу реки, так что Утка просто реку переплывает.
Думаю что к эллипсу приступать рано, надо начать с треугольника, квадрата или прямоугольника.

[Geen]

wrest в сообщении #1285228 писал(а):

Думаю что к эллипсу приступать рано, надо начать с треугольника, квадрата или прямоугольника.

Думаю, что прямые участки берега это только дополнительная проблема...