Лиса, Утка и озеро.

[worm2]

Geen писал(а):

4. Помнится, уже была такая задача

Точно: https://dxdy.ru/post373812.html. И результат у Руста такой же получился, как у wrestа.

[wrest]

worm2 в сообщении #1284538 писал(а):

И результат у Руста такой же получился, как у wrestа.

Хм... интересно. Там условия максимума

Руст в сообщении #373812 писал(а):

$$\int_1^a\frac{\sqrt{x^2-1}dx}{x}=\pi$$

и да, решение такое же число 4,6033. Но я считал просто длину дуги и отрезка, а вот откуда взялся интеграл...

[rockclimber]

wrest в сообщении #1284542 писал(а):

и да, решение такое же число 4,6033.

Совпадение? Не думаю
Для лисы есть две стратегии - минимизация углового расстояния и минимизация расстояния по прямой. Ваша схема из стартового поста, очевидно, бессильна против второй стратегии, а обоснования, почему лисе нельзя ее использовать, вы не привели (я лично считаю, что лиса вправе выбирать любую из двух в каждый момент времени).
Более выигрышной стратегией для утки представляется другая, которую вы начали разрабатывать позже, но бросили на полпути:

wrest в сообщении #1284387 писал(а):

Первым ходом Утка ходит прямо на Север!

Тут утка движется по кратчайшей траектории от лисы, но просто по прямой двигаться нельзя - лиса догонит. Поэтому утке имеет смысл немного отклониться. Например, лиса решила двигаться вправо, тогда утке надо немного отклониться влево, так, чтобы обе возможные стратегии лисы заставляли ее продолжать двигаться вправо. Но тут надо считать. Я пробовал начать, но у меня получились слишком большие формулы. Подозреваю, интеграл может свидетельствовать о том, что утка не плывет по прямой.

P. S. О стратегиях лисы. Интуитивно мне кажется, что стратегия 2 сильнее стратегии 1 всегда.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1284547 писал(а):

Ваша схема из стартового поста, очевидно, бессильна против второй стратегии, а обоснования, почему лисе нельзя ее использовать, вы не привели

Хорошо написал worm2

worm2 в сообщении #1284375 писал(а):

Если она попытается угадать конечную точку маршрута утки и, стремясь туда сразу, будет локально увеличивать угловое расстояние, то он неизбежно пройдёт обратно через 180 градусов. В этот момент утка торжествует: она локально обыграла лису, удалившись от неё на угловое расстояние, невозможное при оптимальной игре лисы (в этот момент утка меняет свой первоначальный план на зеркально противоположный). Поскольку от предыстории результат никак не зависит, то локальный успех увеличивает успех глобальный

Я согласен, в целом. Если Лиса будет строить прогнозы, то Утка Лису обманет.

rockclimber в сообщении #1284547 писал(а):

Тут утка движется по кратчайшей траектории от лисы, но просто по прямой двигаться нельзя - лиса догонит. Поэтому утке имеет смысл немного отклониться.

Ну что значит "немного"? Я ж сразу писал:

wrest в сообщении #1284304 писал(а):

Из начальной позиции Утка начинает движение параллельно и однонаправленно с $Ox$ и как только Лиса побежала против часовой стрелки, Утка сразу поворачивает на $\pi$. Считаем, что этот маневр занимает пренебрежимо малое время.

Как только Лиса побежала в какую-то сторону, она не должна поворачивать обратно no matter what, поскольку Утке только этого и надо. Как только Лиса начнет терять время на метания туда-сюда, у Утки появляется стратегия, выигрывающая при любом сочетании скоростей.

-- 16.01.2018, 12:29 --

rockclimber в сообщении #1284547 писал(а):

Ваша схема из стартового поста, очевидно, бессильна против второй стратегии,

Вы, как мне представляется, не учитываете то, что угловая скорость Лисы больше чем угловая скорость Утки. Вам кажется, что если Лиса побежала в сторону Утки, а Утка затем свернула, то Утка может оказаться по другую сторону диаметра от Лисы. Это не так в силу вышесказанного.
Если же Лиса намеренно снижает скорость и даёт Утке встать на диаметр, это означает проигрыш Лисы, т.к. повторяя это снова и снова, Утка окажется на берегу, а Лиса на диаметре с другой стороны.

[rockclimber]

wrest в сообщении #1284549 писал(а):

Как только Лиса побежала в какую-то сторону, она не должна поворачивать обратно no matter what, поскольку Утке только этого и надо. Как только Лиса начнет терять время на метания туда-сюда, у Утки появляется стратегия, выигрывающая при любом сочетании скоростей.

Лиса не может начать метаться туда-сюда, точнее, утка не может ее заставить сделать это:

wrest в сообщении #1284379 писал(а):

за пределами "круга безопасности" угловая скорость Лисы больше чем угловая скорость Утки

У вас выше картинка была с петелькой. Как только утка начнет закладывать петлю, лиса развернется и побежит навстречу. А дальше утка не сможет сделать петлю обратно, потому что за пределами круга безопасности это невозможно. Вы все время упускаете из виду, что скорость лисы существенно больше.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1284551 писал(а):

Лиса не может начать метаться туда-сюда, точнее, утка не может ее заставить сделать это:

Согласен, но это противоречит вашим же словам:

rockclimber в сообщении #1284551 писал(а):

Как только утка начнет закладывать петлю, лиса развернется и побежит навстречу.

Раз она побежит навстречу, значит когда-то окажется на диаметре.

rockclimber в сообщении #1284551 писал(а):

Вы все время упускаете из виду, что скорость лисы существенно больше.

Наоборот, именно это я все время имею в виду :)

Ладно, давайте забудем про петлю, т.к. это дает повод к инсинуациям. Первым шагом Утка смещается ровно на север на бесконечно очень малое расстояние. Что делает Лиса?

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1284547 писал(а):

Ваша схема из стартового поста, очевидно, бессильна против второй стратегии, а обоснования, почему лисе нельзя ее использовать, вы не привели (я лично считаю, что лиса вправе выбирать любую из двух в каждый момент времени).

Боюсь, Вы повторяете мою ошибку (и, следовательно, неправы). Аргументы были, нужно только пропустить их через фильтр интуиции. Я попытаюсь пробиться через этот фильтр со своим объяснением. (Я держу в уме ту же картинку: Утка в точке $(0;r)$, Лиса в точке $(-R;0)$.)
Шаг 1 Утки: Утка прошла на расстояние $\varepsilon $ в восточном направлении параллельно $OX$.
Шаг 1 Лисы: очевидно, по окружности в том же направлении.
Шаг 2 Утки: Утка почти возвращается -- движется в точку $(0, r+0.01 \varepsilon )$.
Шаг 2 Лисы: Если Лиса возвращается обратно, то мы имеем практически стартовую позицию, но в ней Утка находится ближе к берегу.
Шаг 3 Утки: Утка идёт на расстояние $\varepsilon $ в западном направлении параллельно $OX$. (Так мы компенсируем небольшое отклонение Лисы от стартовой позиции.)

Вывод: wrest прав, Лиса должна минимизировать угол.

[rockclimber]

wrest в сообщении #1284552 писал(а):

давайте забудем про петлю, т.к. это дает повод к инсинуациям

Нету никаких инсинуаций. Петли за пределами круга безопасности - проигрыш для утки. Просто по определению круга безопасности.

wrest в сообщении #1284552 писал(а):

Первым шагом Утка смещается ровно на север на бесконечно очень малое расстояние. Что делает Лиса?

Так как центр окружности ровно между ними, то неважно. Допустим, бежит вправо.

-- 16.01.2018, 13:48 --

grizzly в сообщении #1284554 писал(а):

Шаг 2 Утки: Утка почти возвращается -- движется в точку $(0, r+0.01 \varepsilon )$.
Шаг 2 Лисы: Если Лиса возвращается обратно, то мы имеем практически стартовую позицию, но в ней Утка находится ближе к берегу.

Не, так вы меня не обманете В первой версии стратегии утка не "почти возвращалась", а просто "возвращалась". По крайней мере, я так понял. Тогда и лисе надо просто вернуться. Если утка вторым шагом движется в точку $(0, r+0.01 \varepsilon )$, то лисе надо продолжать движение в том же направлении, куда она двигалась на предыдущем шаге. И вообще, вы куда-то не туда загнали бедную утку. В итоге за два шага она у вас прошла $0.01 \varepsilon$ вдоль радиуса, в то время как лиса прошла примерно 9 $\varepsilon$ вдоль окружности. Это тупик - утка теперь в 900 раз медленее!

[wrest]

rockclimber в сообщении #1284555 писал(а):

Так как центр окружности ровно между ними, то неважно. Допустим, бежит вправо.

Ok. Утка пропускает шаг 2 (стоит на месте). Что делает Лиса?

[rockclimber]

wrest в сообщении #1284558 писал(а):

Ok. Утка пропускает шаг 2 (стоит на месте). Что делает Лиса?

Продолжает бежать вправо.

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1284555 писал(а):

Не, так вы меня не обманете

Вы сами себя обманываете
Ладно, я пока выйду из игры, чтобы не мешать wrest. Надеюсь, он за 2 хода управится.

-- 16.01.2018, 13:01 --

rockclimber
wrest не ходит, давайте продолжим. Мне тоже 2 хода хватит.

Итак, после двух шагов Утка почти на месте (чуть севернее), а Лиса пробежала на 900чуть к востоку.
Шаг 3. Утка начала движение параллельно $OX$ на запад.
Ваш ход.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1284559 писал(а):

Продолжает бежать вправо.

Ok, на шаге 3 Утка ходит влево. Напомню, что Лиса уже сделала два шага против часовой, а Утка - один шаг на Север.
Каков шаг 3 Лисы?

[rockclimber]

grizzly в сообщении #1284562 писал(а):

Итак, после двух шагов Утка почти на месте (чуть севернее), а Лиса пробежала на 900чуть к востоку.
Шаг 3. Утка начала движение параллельно $OX$ на запад.
Ваш ход.

Ну, во-первых, это считать надо, а мне лень. Во-вторых, так мы плавно приходим к стратегии, предложенной Dmitriy40, против которой я вообще-то не возражал:

rockclimber в сообщении #1284355 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1284353 писал(а):

rockclimber в сообщении #1284329 писал(а):

Да просто двигаться в ту сторону, где расстояние по прямой между ней и уткой будет сокращаться.

Помнится тут существует решение со спиральным движением утки, заставляющем лису много-много раз обежать озеро. Правда не помню каков там предел отношения скоростей для бесконечного количества оборотов (раскручивающейся спирали с бесконечно малым шагом).

Я тоже думал об этом, но с наскока такую задачу в общем виде не решу, а не с наскока думать лень.

Я вот даже картинку нарисовал. Думаю, идея понятна, хотя ее еще можно оптимизировать. Мое мнение - она все-таки принципиально отличается от варианта "разворот в малой окрестности и движение по прямой".

[worm2]

rockclimber в сообщении #1284547 писал(а):

Для лисы есть две стратегии - минимизация углового расстояния и минимизация расстояния по прямой.

Что-то меня сейчас осенило: а разве это не одна и та же стратегия получается? При фиксированном положении утки внутри озера две функции: расстояние по прямой и угловое расстояние (аргумент обеих функций — азимут лисы) достигают максимума в одной и той же точке (и минимума в противолежащей точке), а между экстремумами монотонно возрастают или убывают синхронно.
Тут, разумеется, нужно считать угловое расстояние не "по часовой" или "против часовой", а "по абсолютной величине": тот угол, который меньше 180 градусов и будет "угловым расстоянием".

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1284567 писал(а):

Ну, во-первых, это считать надо, а мне лень.

Считать нужно только для того, чтобы попытаться найти ещё более оптимальную стратегию. А убедиться, что wrest прав, можно без расчётов.