Вычисление числа состояний с энергией меньше E

[Astroid]

Доброго времени суток.
Хотел попросить тех, кто разбирается в статфизике прояснить один момент в решении следующей задачи. Для системы $N$ независимых, классических, двухмерных гармонических осцилляторов с частотами $\omega_1$, $\omega_2$ определить $\Gamma(E)$ - число состояний с энергией $\varepsilon < E$.
На начальном этапе записывается энергия системы в виде

$$E=\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{m\omega^2x_i^2}{2}\right)$$

Далее, импульсы и координаты нормируются так чтобы исчезли коэффициенты. Затем эти нормированные импульсы подставляются в интеграл

$$\Gamma(E) = \int\limits_{}^{}\cdots\int\limits_{\varepsilon<E}^{}\frac{d\Gamma}{h^s},$$

где $h$ - постоянная планка. Природа самой формулы мне вроде бы понятна (физическая), но с математической точки зрения это полная магия. Элементарные фазовые обьемы представляются как

$$d\Gamma = \sqrt{m}^{2N}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{ix}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{iy}\frac{1}{\sqrt{m}^{2N}}\frac{\prod\limits_{i=1}^{N}dx_i dy_i}{\left(\omega_1 \omega_2\right)^{2N}}$$

.
Затем, с помощью математического приема, который я не понял, $2N$-мерный интеграл по фазовому обьему заменяется одним интегралом по поверхности $2N$-мерной сферы:

$$\int\limits_{0}^{\sqrt{2E}}S_{2\nu}(R)dR. $$

Может кто-нибудь доходчиво объяснить почему так можно делать и что есть вообще этот последний интеграл?

[Astroid]

Нашел что-то похожее в «Статистической механике» Кубо, но это вызывает еще больше вопросов. Для одного осциллятора с частотой $\omega$
он предлагает рассмотреть поверхность одинаковой энергии:

$$\frac{p^2}{2mE}+\frac{m\omega^2q^2}{2E} =1.$$

Видно, что это уравнение эллипса в координатах $p, q$ С осями $\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}$ и $\sqrt{2mE}$. Находя площадь эллипса по известной формуле, получаем объем фазового пространства, соответствующий энергии меньше $E$:

$$\Gamma_0(E) = \frac{E}{\nu}, $$

где $\nu$ - частота осциллятора. То же самое можно проделать для нормированных фазовых переменных и получить видоизмененный, однако, все же, эллипс. И вот вопрос: почему же тогда в решении исходной задачи фигурирует площадь поверхности многомерной сферы, а не эллипса?
Все понял, нормированный эллипс это окружность. Можно сносить тему.