2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление числа состояний с энергией меньше E
Сообщение14.01.2018, 07:44 


11/07/16
81
Доброго времени суток.
Хотел попросить тех, кто разбирается в статфизике прояснить один момент в решении следующей задачи. Для системы $N$ независимых, классических, двухмерных гармонических осцилляторов с частотами $\omega_1$, $\omega_2$ определить $\Gamma(E)$ - число состояний с энергией $\varepsilon < E$.
На начальном этапе записывается энергия системы в виде $$E=\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{m\omega^2x_i^2}{2}\right)$$
Далее, импульсы и координаты нормируются так чтобы исчезли коэффициенты. Затем эти нормированные импульсы подставляются в интеграл $$\Gamma(E) = \int\limits_{}^{}\cdots\int\limits_{\varepsilon<E}^{}\frac{d\Gamma}{h^s},$$ где $h$ - постоянная планка. Природа самой формулы мне вроде бы понятна (физическая), но с математической точки зрения это полная магия. Элементарные фазовые обьемы представляются как $$d\Gamma = \sqrt{m}^{2N}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{ix}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{iy}\frac{1}{\sqrt{m}^{2N}}\frac{\prod\limits_{i=1}^{N}dx_i dy_i}{\left(\omega_1 \omega_2\right)^{2N}}$$.
Затем, с помощью математического приема, который я не понял, $2N$-мерный интеграл по фазовому обьему заменяется одним интегралом по поверхности $2N$-мерной сферы:
$$\int\limits_{0}^{\sqrt{2E}}S_{2\nu}(R)dR. $$
Может кто-нибудь доходчиво объяснить почему так можно делать и что есть вообще этот последний интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление числа состояний с энергией меньше E
Сообщение14.01.2018, 13:00 


11/07/16
81
Нашел что-то похожее в «Статистической механике» Кубо, но это вызывает еще больше вопросов. Для одного осциллятора с частотой $\omega$
он предлагает рассмотреть поверхность одинаковой энергии: $$\frac{p^2}{2mE}+\frac{m\omega^2q^2}{2E} =1.$$ Видно, что это уравнение эллипса в координатах $p, q$ С осями $\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}$ и $\sqrt{2mE}$. Находя площадь эллипса по известной формуле, получаем объем фазового пространства, соответствующий энергии меньше $E$: $$\Gamma_0(E) = \frac{E}{\nu}, $$ где $\nu$ - частота осциллятора. То же самое можно проделать для нормированных фазовых переменных и получить видоизмененный, однако, все же, эллипс. И вот вопрос: почему же тогда в решении исходной задачи фигурирует площадь поверхности многомерной сферы, а не эллипса?
Все понял, нормированный эллипс это окружность. Можно сносить тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group