2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление числа состояний с энергией меньше E
Сообщение14.01.2018, 07:44 


11/07/16
81
Доброго времени суток.
Хотел попросить тех, кто разбирается в статфизике прояснить один момент в решении следующей задачи. Для системы $N$ независимых, классических, двухмерных гармонических осцилляторов с частотами $\omega_1$, $\omega_2$ определить $\Gamma(E)$ - число состояний с энергией $\varepsilon < E$.
На начальном этапе записывается энергия системы в виде $$E=\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{m\omega^2x_i^2}{2}\right)$$
Далее, импульсы и координаты нормируются так чтобы исчезли коэффициенты. Затем эти нормированные импульсы подставляются в интеграл $$\Gamma(E) = \int\limits_{}^{}\cdots\int\limits_{\varepsilon<E}^{}\frac{d\Gamma}{h^s},$$ где $h$ - постоянная планка. Природа самой формулы мне вроде бы понятна (физическая), но с математической точки зрения это полная магия. Элементарные фазовые обьемы представляются как $$d\Gamma = \sqrt{m}^{2N}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{ix}\prod\limits_{i=1}^{N}dP_{iy}\frac{1}{\sqrt{m}^{2N}}\frac{\prod\limits_{i=1}^{N}dx_i dy_i}{\left(\omega_1 \omega_2\right)^{2N}}$$.
Затем, с помощью математического приема, который я не понял, $2N$-мерный интеграл по фазовому обьему заменяется одним интегралом по поверхности $2N$-мерной сферы:
$$\int\limits_{0}^{\sqrt{2E}}S_{2\nu}(R)dR. $$
Может кто-нибудь доходчиво объяснить почему так можно делать и что есть вообще этот последний интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление числа состояний с энергией меньше E
Сообщение14.01.2018, 13:00 


11/07/16
81
Нашел что-то похожее в «Статистической механике» Кубо, но это вызывает еще больше вопросов. Для одного осциллятора с частотой $\omega$
он предлагает рассмотреть поверхность одинаковой энергии: $$\frac{p^2}{2mE}+\frac{m\omega^2q^2}{2E} =1.$$ Видно, что это уравнение эллипса в координатах $p, q$ С осями $\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}$ и $\sqrt{2mE}$. Находя площадь эллипса по известной формуле, получаем объем фазового пространства, соответствующий энергии меньше $E$: $$\Gamma_0(E) = \frac{E}{\nu}, $$ где $\nu$ - частота осциллятора. То же самое можно проделать для нормированных фазовых переменных и получить видоизмененный, однако, все же, эллипс. И вот вопрос: почему же тогда в решении исходной задачи фигурирует площадь поверхности многомерной сферы, а не эллипса?
Все понял, нормированный эллипс это окружность. Можно сносить тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Cos(x-pi/2)


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group