Beautiful

[ins-]

It is very good problem from the bulgarian mathematician E. Stoyanov.

It is given a triangle $ABC$ and a point $T$ inside $ABC$. $l1, l2, l3$ are lines parallel to $AB, BC, CA$ respectively. $l1$ intersects $AC$ and $BC$ at the points $M$ and $N, l2$ intersects $AB$ and $AC$ at the points $P$ and $Q, l3$ intersects $BC$ and $AB$ at the points $R$ and $S$. Prove the following inequality:
$MT.NT + PT.QT + RT.ST \leq R^{2}$

[zoo]

RT.ST
what does such a notation mean?
and $R$ in the right part of the inequality is not the same as in the left one i guess

[TOTAL]

zoo писал(а):

RT.ST
what does such a notation mean?

$|RT| \cdot |ST|$

Специалисты по неравенствам могут пытаться доказать такое:
$\xi_1 \xi_2 \sin^2 \varphi_3 + \xi_2 \xi_3 \sin^2 \varphi_1+ \xi_3 \xi_1 \sin^2 \varphi_2 \le \frac{1}{4}$
$\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 =1$
$\xi_i$ - положительные, $\varphi_i$ - внутренние углы треугольника

[ins-]

Do you like hint about this problem ... it was a Bulgarian proposal for IMO.

[TOTAL]

Вот такой хинт подойдет?
$|MT| \cdot |NT| + |PT|\cdot |QT| +| RT|\cdot |ST| + S^2 = R^{2}$
Здесь $S$ - расстояние от $T$ (она не обязательно внутри треугольника) до центра описанной окружности радиуса $R$
(теорема о произведении двух частей хорды $l_1$, 3 раза, с диаметром и сторонами треугольника)

[zoo]

it is hard to believe that this problem is composed by a concrete person, it looks like deep deep folk

[ins-]

Excellent as usually, TOTAL!

to zoo:
I don't know but the person said - it is composed by him.

[arqady]

TOTAL писал(а):

Специалисты по неравенствам могут пытаться доказать такое:
$\xi_1 \xi_2 \sin^2 \varphi_3 + \xi_2 \xi_3 \sin^2 \varphi_1+ \xi_3 \xi_1 \sin^2 \varphi_2 \le \frac{1}{4}$
$\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 =1$
$\xi_i$ - положительные, $\varphi_i$ - внутренние углы треугольника

Ваше неравенство верно для всех действительных $\xi_1,$ $\xi_2$ $\xi_3,$ $\varphi_1,$ $\varphi_2$ и $\varphi_3$ таких, что $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 =1$ и $\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=\pi.$

[ins-]

I'm wondering is this inequality composed by TOTAL?

[TOTAL]

arqady писал(а):

Ваше неравенство верно для всех действительных $\xi_1,$ $\xi_2$ $\xi_3,$ $\varphi_1,$ $\varphi_2$ и $\varphi_3$ таких, что $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 =1$ и $\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=\pi.$

Чтобы поместить точку внутрь треугольника, я и потребовал положительность барицентрических координат $\xi_i$.
(Буду считать, что геометрическим решением я тоже доказал это неравенство. )