Ошибки в примера Вентцель Е. по терверу(?)

[Bobkiller]

Доброго дня,
заинтересовался теорией вероятностей, и начал с учебника Вентцель Е.С 1969 г.

На стр.65 приводится задача Пример 5:

Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 6 из них. Каждый элемент за время работы прибора $t$ выходит из строя независимо от других с вероятностью $0,2$. Найти вероятность того, что прибор откажет за время $t$.
Решение: для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов. По формуле $(4.2.4)$ имеем:

$R_2^8=1-(P_{0,8}+P_{1,8})=1-(0.8^8+C_8^1\cdot0.2\cdot0.8^7)=0.497

Ответ по Вентцель Е.С. $0.497$.
------------

Мое решение:
По условию задачи имеем $n=8$ элементов.
Сохраняющий работоспособность ($p=0.8$), если работают не менее 6 элементов.
Т.е. $k\geqslant6. Не менее 6, значит 6, 7 или 8 элементов должны работать.
Предположим, что это $1,2,3,4,5,6$ элементы работающие. 7 и 8 не работающие.
Чтобы прибор отказал по условию задачи необходимо чтобы работающих элементов стало менее 6.
Т.е., для нашего случая, это выход любого элемента с номером $1,2,3,4,5,6$, т.е. $1,2,3,4,5$. Остается 5 элементов.
Прибор ломается, если осталось 5 элементов и меньше.
Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, число отказавших элементов должно быть не менее 3х, а не не менее 2х, как в условиях задачи. Так как формулировка «не менее» 2х, включает 2.
Но устройство сохраняет работоспособность при 6 элементах, а два отказа приводят к тому, что еще 6 элементов рабочие.
Если ли тут в моих рассуждениях ошибка?

Выполнил расчет:

Таблица с расчетом в Excel доступна по ссылке:
https://yadi.sk/i/_FyX2vpy3RL9oK

Таблица в png на яндекс.диске:
https://yadi.sk/i/2fnEWdnH3RLAiN

Расчет показывает, что $0.4697$ это вероятность сохранения работоспособности 6 элементов, или отказа 2х элементов.
В расчетах принято $p=0.8$, т.е. я считаю вероятность сохранения работоспособности элементов.

Мое решение:
Вероятность сохранения работоспособности не менее$6$, т.е. 6,7 или 8 элементов равна:
$0.293+0.335+0.167=0.797$.

Вероятность отказа не менее 3х элементов равна $1-0.797=0.203$

В чем моя ошибка в итоге?

Есть еще один пример в котором я сомневаюсь в Задачнике уже Вентцель. Чуть позже сформулирую и его.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[atlakatl]

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов.

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, число отказавших элементов должно быть не менее 3х, а не не менее 2х, как в условиях задачи

Ваша формулировка столь же непонятна.
Приведите, пожалуйста, название сабжевого учебника.

[Bobkiller]

atlakatl в сообщении #1283022 писал(а):

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов.

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, число отказавших элементов должно быть не менее 3х, а не не менее 2х, как в условиях задачи

Ваша формулировка столь же непонятна.
Приведите, пожалуйста, название сабжевого учебника.

В посте до "--------" полная копия формулировки задачи из учебника слово в слово.

Учебник "Теория вероятностей", изд. 4, 1969 г. , автор Вентцель Е.С. тут:
https://yadi.sk/d/wAhVN9e83RLeDY
Пример 5, стр. 65.

Скан примера если у кого-то не открывается рисунок:
https://yadi.sk/i/angwBl8C3RLeXL

Таблица с расчетом вероятностей сохранения надежности элементов по формуле Бернулли:

[atlakatl]

Bobkiller в сообщении #1283025 писал(а):

В посте до "--------" полная копия формулировки задачи из учебника слово в слово.

Я привёл формулировку - Вашу - после "------------------".
Внимательно прочитайте свои слова:

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, число отказавших элементов должно быть не менее 3х, а не не менее 2х, как в условиях задачи.

[Bobkiller]

atlakatl в сообщении #1283031 писал(а):

Bobkiller в сообщении #1283025 писал(а):

В посте до "--------" полная копия формулировки задачи из учебника слово в слово.

Я привёл формулировку - Вашу - после "------------------".
Внимательно прочитайте свои слова:

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, число отказавших элементов должно быть не менее 3х, а не не менее 2х, как в условиях задачи.

а, понял. Да, я тут ошибся в формулировке.

Чтобы работоспособных элементов оставалось не менее 6, отказать должно не более 2х. А не не менее 2, как у условиях примера 5 из учебника.

Иными словами, чтобы устройство отказало, считать надо вероятность отказа 3х и более элементов.
А не как в условиях примера 5 из учебника, где сказано, что для отказа прибора надо считать вероятность отказа 2х и более элементов.

[Someone]

Всякого рода ошибки и описки при написании большого текста неизбежны, и даже при очень тщательной проверке полностью избавиться от них почти невозможно, поэтому особо сильно не удивляйтесь и автора не судите. Тут действительно надо добавить в скобках ещё одно слагаемое.

[Bobkiller]

Имеем 8 элементов в приборе,
при 6 работающих элементах прибор работает.
При 2х отказавших работает.
При 3х отказавших уже отказывает весь прибор.

Но в учебнике Вентцель дает решение, что отказ прибора наступает при случае отказа не менее 2х элементов.
Но не менее двух, это и 2 отказавших. Но при этом ,прибор же будет работать.
Вроде так.
В чем логическое заблуждение понять не могу.

Someone в сообщении #1283034 писал(а):

Всякого рода ошибки и описки при написании большого текста неизбежны, и даже при очень тщательной проверке полностью избавиться от них почти невозможно, поэтому особо сильно не удивляйтесь и автора не судите. Тут действительно надо добавить в скобках ещё одно слагаемое.

Ни в коем случае автора не сужу. Изучаю самостоятельно, и мне важно понять суть задачи. А Вам спасибо за ответ.

[Someone]

Bobkiller в сообщении #1283035 писал(а):

В чем логическое заблуждение понять не могу.

Чьё заблуждение?

[Bobkiller]

Someone в сообщении #1283040 писал(а):

Bobkiller в сообщении #1283035 писал(а):

В чем логическое заблуждение понять не могу.

Чьё заблуждение?

мои) но вроде Вы подтвердили, что нехватает еще одного. Значит мои рассуждения верны. Опечатка в учебнике.

[Someone]

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Мое решение:
Вероятность сохранения работоспособности не менее$6$, т.е. 6,7 или 8 элементов равна:
$0.293+0.335+0.167=0.797$.

Вероятность отказа не менее 3х элементов равна $1-0.797=0.203$

Правильно. В чём проблема?

[Bobkiller]

Someone в сообщении #1283044 писал(а):

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Мое решение:
Вероятность сохранения работоспособности не менее$6$, т.е. 6,7 или 8 элементов равна:
$0.293+0.335+0.167=0.797$.

Вероятность отказа не менее 3х элементов равна $1-0.797=0.203$

Правильно. В чём проблема?

Проблема в том, что я думал, что считается именно так, как в примере. Из-за этого не мог понять принцип как работает формула Бернулли. Боялся, что я не учитываю какой то фактор.

[Someone]

В примере случайная ошибка. Я по себе знаю: когда пишешь длинный текст или решаешь много задач, внимание притупляется и возникают странные ошибки. Последующие проверки позволяют часть ошибок выловить, но полной гарантии не дают.

[atlakatl]

Bobkiller в сообщении #1282915 писал(а):

Мое решение:
Вероятность сохранения работоспособности не менее$6$, т.е. 6,7 или 8 элементов равна:
$0.293+0.335+0.167=0.797$.
Вероятность отказа не менее 3х элементов равна $1-0.797=0.203$

Это правильный ответ.
У Вентцель в последующих книгах этой задачи не встречается.