Доказать неравенство

[an2ancan]

Здравствуйте, помогите решить следующую задачу:

Пусть $f$ - дифференцируемая функция, причем $f(0)=0$ и $0< f'(x) \leqslant 1$ . Докажите, что для всех $x\geqslant 0$ имеет неравенство $\int\limits_{0}^{x}f^3(t)dt \leqslant (\int\limits _{0}^{x}f(t)dt)^2$.

Начнем с того, что т.к. $f(0)=0$ и $0 < f'(x) \leqslant 1 \rightarrow f(x) > 0$ при $x>0$

Рассмотрим левую часть неравентсва
$\int\limits_{0}^{x}f^3(t)dt = F_1(x) - F_1(0)$,
где $F_1$ первообразная функции $f^3(t)$. Найдем производную функции
$(\int\limits_{0}^{x}f^3(t)dt)' =F_1(x)' -F_1(0)' = f^3(x) - f^3(0) = f^3(x)$

Расмотрим правую часть неравентсва
$(\int\limits _{0}^{x}f(t)dt)^2 = (F(x) - F(0))^2$,
где F(x) - первообразная от f(x)$. Найдем производную функции
$((\int\limits _{0}^{x}f(t)dt)^2)' = ((F(x) - F(0))^2)' = 2(F(x) - F(0))(F'(x) - F'(0)) =2(F(x) - F(0))(f(x) - f(0)) =2(F(x) - F(0))f(x)$
сравним теперь производные двух выражений
$ f^3(x)$ и $2(F(x) - F(0))f(x)$
очевидно, что при $x = 0$ оба эти выражения равны 0, т.е. в точке ноль проверяемое нами условие выполняется.
Проверим условие для $x>0$. Т.к. $f(x) > 0 $ для $x>0$, то можно разделить оба выражения на $f(x)$.
Получаем
$ f^2(x)$ и $2(F(x) - F(0))$
Найдем производные от этих выражений:
$2f(x)f'(x)$ и $2(f(x) - f(0)) = 2f(x)$
Т.к. $0 < f'(x) \leqslant 1$ то
$2f(x)f'(x) \leqslant 2f(x)$ а отсюда следует и справедливость проверяемого нами выражения.

[thething]

Нельзя дифференцировать неравенства (ну или что Вы там делали, я запутался во всех перипетиях Ваших рассуждений)

Идея такая: исследуйте на максимум функцию $h(x)=\displaystyle\int\limits_{0}^{x}{f^3(t)dt}-\displaystyle(\int\limits_{0}^{x}{f(t)}dt)^2$ и покажите, что $h_{\max}=-F^2(0)$, где $F$ -- первообразная для $f$

[DeBill]

thething в сообщении #1282985 писал(а):

Нельзя дифференцировать

А это - смотря чего мы хотим... Можно - если мы надеемся получить верное (и тогда исходное из верного получится интегрированием - а уж это точно можно)
an2ancan
Все верно, и это - хорошее решение.

-- 10.01.2018, 20:21 --

Заметьте, кстати, как нам повезло, что требовалось доказать неравенство сразу для всех $x$. А вот если бы - для конкретного - было бы не так просто!

[thething]

DeBill
Что, даже это верно?

an2ancan в сообщении #1282950 писал(а):

$(\int\limits_{0}^{x}f^3(t)dt)' =F_1(x)' -F_1(0)' = f^3(x) - f^3(0) = f^3(x)$

Это, конечно, придирка, но, согласитесь, запись странная

-- 10.01.2018, 20:26 --

DeBill в сообщении #1282993 писал(а):

Заметьте, кстати, как нам повезло, что требовалось доказать неравенство сразу для всех $x$. А вот если бы - для конкретного - было бы не так просто!

Почему, можно было попытаться догадаться доказать для всех $x>0$, а потом взять конкретный

[DeBill]

thething в сообщении #1282995 писал(а):

Что, даже это верно?

Ой! Но чудесным образом получилось "в основном верно".

thething в сообщении #1282995 писал(а):

можно было попытаться догадаться доказать для всех

Ну да, я это и имел в виду: надо еще и догадаться. Но и Ваш способ - фактически, то же самое, что и у ТС

[thething]

DeBill в сообщении #1283010 писал(а):

Но и Ваш способ - фактически, то же самое, что и у ТС

Ну не знаю.. по-моему как-то содержательнее и проще, более "матанализно", что ли

Хотя, я всячески приветствую, если люди сами до чего-то доходят, не бью их по рукам, но потом все-равно указываю на более содержательное или более универсальное решение и прошу провести именно его..