почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени
А что такое вообще степень?...
В конце концов -- это такая операция

, что

(ну и там ещё кой-какие оговорки).
Изначально же

для целых положительных

определяется как повторное умножение.
А между этими двумя крайними позициями -- цепочка из нескольких логических переходов, одним из которых и является определение корня целочисленной положительной степени
![$x=\sqrt[n]{y}$ $x=\sqrt[n]{y}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/7/e27aab6f7786d684ca06b2c2eed60d1a82.png)
как функции, обратной к целой положительной степени

и обозначение его как

. Именно положительной, т.к. степени с отрицательными показателями выгоднее определять отдельно. Т.е. понятие корня не имеет особой самостоятельной математической ценности -- это лишь маленький кусочек некоторой конструкции.
Но после того, как понятие степени уже введено в полном объёме -- никто уже не в силах запретить обозначать
![$\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$ $\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/b/fab50195f70572172d4a76888debc82982.png)
для вообще произвольных

. Это не более чем вопрос выбора обозначений.
Правда, есть один формальный нюанс: часто принято считать, что, дескать,
![$\sqrt[3]x$ $\sqrt[3]x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f514b4cf7be7d42b724cd014fd711382.png)
определён при всех иксах, в то время как

-- лишь при положительных. Но это сугубо школьный методический бздык, и сразу же после школы никто уже на это внимания не обращает.