Математика без бесконечности

[MathXXI]

Существует ли раздел математики в котором специально не используются такие понятия математического анализа как бесконечная последовательность, предел последовательности да и вообще предельный переход, итд все, что связано с абстракцией бесконечности.
Но при этом вводится какое-нибудь "дискретное" понятие производной, и прочих достижений классической математики, которые помогают постигать мир. К примеру в качестве дифференциальных уравнений можно использовать рекуррентные функции.

Читал немного про конструктивную математику, вроде похоже, но бесконечность там я так понимаю остается?
В конкретной математике Кнута, вроде как никакого аналитического аппарата не дается, а описывается набор известных типовых решений.

Наверное это будет какая то смесь дискретной математики, комбинаторики, теории информации, элементарной теории вероятности, теории алгоритмов, (теории чисел?), но не уверен.

Был бы благодарен, если бы указали направление, куда можно посмотреть.

[grizzly]

MathXXI в сообщении #1281129 писал(а):

Был бы благодарен, если бы указали направление, куда можно посмотреть.

См. ключевые слова финитизм (finitism) и ультрафинитизм (ultrafinitism). Смотреть можно начинать с англовики, дальше по ссылкам. В статье на англовики есть неплохая ссылка на math.overflow -- стоит глянуть. (На русском интересоваться этим будет сложнее, я думаю, но тогда хотя бы обращайте внимание на то, чтобы автор был математиком, а не чистым философом.)

[george66]

Вот классика жанра (Ян Мыцельский "Анализ без актуальной бесконечности")
http://gen.lib.rus.ec/scimag/?s=analysi ... redirect=1
но надо знать нестандартный анализ. Потом один финн это развил и дошёл до рядов Фурье
https://pdfs.semanticscholar.org/2a6f/2 ... b55a90.pdf
Примерно объясню, как это делается. В формальной арифметике есть аксиома сокращения
$n'=m'\Rightarrow n=m$

где $n'$ это $n+1$
Заменим её более слабой
$n'=m'\wedge n<k\wedge m<k\Rightarrow n=m$
Тогда сокращать можно только если есть число $k$, большее, чем $n$ и $m$.
У такого "натурального ряда" есть конечные модели, например 0 1 2 3 (всё), где 3'=3.
2'=3' (=3) но сокращать нельзя, потому что число 3 самое большое.
Добавим теперь бесконечный набор аксиом
0<1
1<2
2<3
3<4
и так далее, которые гарантируют, что натуральный ряд всё-таки бесконечный.
Но любой конечный фрагмент этой теории имеет конечную модель вида 0 1 2 $\ldots$ n-1 n
Мыцельский кое-что улучшил и получил теорию, в которой можно практически развивать мат анализ, притом любой конечный фрагмент его теории имеет конечную модель. А поскольку мы за всю жизнь успеем использовать только конечное число аксиом, мы можем считать, что натуральный ряд конечный. Бесконечно большие, о которых говорится в теории Мыцельского (а это вариант нестандартного анализа) -- это просто достаточно большие конечные числа.

[maxal]

А вот тригонометрия без бесконечных рядов и иррациональностей:
Rational trigonometry

[Евгений Машеров]

А исчисление конечных разностей не спасёт Отца Русской Демократии?