Алгебра, пара вопросов

[NNDeaz]

В учебнике Кострикина после введения $\mathbf{SL}_n$ и $\mathbf{GL}_n$ приводится такой пример

Цитата:

Положив $n=1$, мы придем к мультипликативным группам

$$ \mathbb{R}^{\ast}=\mathbb{R} \backslash \left\lbrace0\right\rbrace = \mathbf{GL}_1 (\mathbb{R}), \mathbb{Q}^{\ast}=\mathbb{Q} \backslash \left\lbrace0\right\rbrace = \mathbf{GL}_1 (\mathbb{Q}) $$

вещественных и рациональных чисел. Так как в $(\mathbb{Z},\cdot,1)$ обратимыми элементами являются только $-1$ и $1$, то $\mathbf{GL}_1 (\mathbb{Z}) =\left\lbrace \pm 1 \right\rbrace $

Почему $\mathbf{GL}_1 (\mathbb{Z}) = \left\lbrace \pm 1 \right\rbrace $ ? Разве не $ \mathbf{GL}_1 (\mathbb{Z}) = \left\lbrace (a) \in \mathbf{M}_1 (\mathbb{Z}) | \det{A}=a \ne 0 \right\rbrace = \mathbb{Z}^{\ast}=\mathbb{Z} \backslash \left\lbrace0\right\rbrace$ ?

И второй вопрос, разве корректно писать $ \mathbb{R} \backslash \left\lbrace0\right\rbrace = \mathbf{GL}_1 (\mathbb{R}) $ ведь в левой части множество чисел, а в правой части множество матриц ? Я понимаю что матрицы размерности 1 отождествляются с числами но это ведь все-таки разные объекты

[arseniiv]

Можете понимать это $=$ как обозначение естественного изоморфизма. Вообще более красиво будет (но он это введёт лишь позже во втором томе о линейной алгебре) говорить о $\mathrm{GL}(V)$, где $V$ — одномерное векторное пространство над интересующим полем.

NNDeaz в сообщении #1282531 писал(а):

Почему $\mathbf{GL}_1 (\mathbb{Z}) = \left\lbrace \pm 1 \right\rbrace $ ? Разве не $ \mathbf{GL}_1 (\mathbb{Z}) = \left\lbrace (a) \in \mathbf{M}_1 (\mathbb{Z}) | \det{A}=a \ne 0 \right\rbrace = \mathbb{Z}^{\ast}=\mathbb{Z} \backslash \left\lbrace0\right\rbrace$ ?

Для обратимости целочисленной матрицы недостаточно, чтобы её определитель был ненулевым. Вот возьмите матрицу $[2]$, разве у неё есть обратная?

[vpb]

NNDeaz
Тут, мне кажется, та же проблема, что уже была в одной из Ваших прошлых тем. Понимаете ли, в любом тексте есть те или иные условности речи, иначе его ни написать, ни прочитать будет невозможно.

Следует оговориться, что бывают тексты вообще без условностей. А именно, это тексты на строго формализованных языках описания доказательств, таких как Coq. Но они предназначены для другого, а именно, для формальной проверки правильности доказательств компьютером. Компьютер их читать может, а человек --- практически нет. Тем более студент 1 курса. Я в этих формализованных языках не разбираюсь, поэтому больше ничего написать не могу.

Для разных категорий читателей тексты пишутся разного стиля, по определению. Для широкой публики одни, для студентов другие, для профессионалов третьи, для компьютера четвертые. В одних текстах одни условности, в других другие. То, что одно и то же выражение может обозначать разные объекты --- это очень широко распространенный прием, часто облегчающий понимание (а может и наоборот затруднять, в зависимости от ситуации). Иногда разные вещи нужно обозначить одной буквой, иногда можно, иногда нельзя. В данном случае --- вполне уместно (и вообще Кострикин --- отличный учебник, хоть и не все в нем хорошо). Привыкайте.

$GL_n(R)$, где $R$ --- коммутативное кольцо, обозначает множество всех $n\times n$ матриц $X\in M_n(R)$, для которых существует матрица $Y\in M_n(R)$ такая, что $XY=YX=E$. Легко видеть, что это группа. Отметим, что матрица с элементами из $R$ может иметь ненулевой определитель и тем самым быть обратимой над полем частных кольца $R$, не будучи обратимой над $R$.

Наконец, еще такая мысль есть. По моему, интересней гораздо заниматься математикой, а не обращать слишком много внимания на языковые затруднения (тем более если Вы вполне понимаете о чем речь, значит и языковой проблемы-то фактически нет). Вот у Вас недавно была тема про коммутативность некоей системы с бинарным умножением, так с точки зрения любопытства, дорешали Вы ту задачу или нет?

[Walker_XXI]

NNDeaz в сообщении #1282531 писал(а):

Я понимаю что матрицы размерности 1 отождествляются с числами но это ведь все-таки разные объекты

Можете назвать хоть одно отличие в свойствах?

[svv]

Вообще, подобные проблемы — не проблемы, если Вы знаете, как можно исправить, чтобы с Вашей точки зрения стало удовлетворительно и можно было двигаться дальше. Плохо, если упавшая на дорогу веточка преграждает путь. Другое дело — принципиальные, непреодолимые дефекты в рассуждениях.

[NNDeaz]

vpb в сообщении #1282565 писал(а):

дорешали Вы ту задачу или нет?

Да, дорешал.

Всем спасибо за ответы

[NNDeaz]

Т.е. я правильно понял, что
$\mathrm{GL}_1 (X)=U(X)$, где $U(X)$ - множество всех обратимых элементов в $X$?
И то, что $U(X)$ всегда образует группу?

[vpb]

Да, правильно.

[NNDeaz]

Как я понял, что в Кострикине, что в Винберге в начальных главах о группах используется небольшое упрощение: вводится понятие $\mathsf{GL}_n (X)$ в случае когда $X$ - поле, там как раз и говорится о невырожденных матрицах.
Если же $X$ комм. кольцо, то уже правильно использовать определение

vpb в сообщении #1282565 писал(а):

$GL_n(R)$, где $R$ --- коммутативное кольцо, обозначает множество всех $n\times n$ матриц $X\in M_n(R)$, для которых существует матрица $Y\in M_n(R)$ такая, что $XY=YX=E$

Поэтому и появилась путаница в случае $\mathbb{Z}$.