Ключ к БТФ (Начало)

[Iosif1]

Ключ к БТФ


Вступление

1.1 Доказательство Большой теоремы Ферма (БТФ) может считаться справедливым, если оно удовлетворяет условию:

Показатель степени n – простое число. [1]

Рассмотрим доказательство Большой теоремы Ферма при рассмотрении уравнения Ферма для куба.

Необходимо доказать, что

$a^3+b^3=c^3$: 1.1.1

при целочисленных

$a, b, c$

и

$n>2$

невозможно.

1.2 Различают два случая Большой теоремы Ферма (БТФ).

К первому Случаю БТФ относятся варианты, когда ни одно из оснований степеней $a^3;b^3,c^3$
$a,b,c$ не содержат сомножителей n.

1.3 Ко второму Случаю БТФ относятся варианты, когда одно из оснований, например $b$ содержит сомножители $2n$.


С него и начнём рассмотрение доказательства.

Второй случай БТФ

2.1 Имеют место:

$ a \equiv c \mod (2n)$

$a,b,c$ — взаимно простые числа, а основание

$b$ – чётное.

Именно этот вариант актуален для доказательства элементарными способами математики. [2]

2.2 Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие:

$(c-b)=D_a$;
$(c-a)=D_b$;
$(a+b)=D_c$;



где, например,

$D_c=c_i^3$;
$D_a=a_i^3$;
$D_b=b_i^3/3$;

где:

$c_i, a_i, b_i$— целые числа.



2.3 Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:

$a_i^3\cdot a_x^3 +b_i^3\cdot b_x ^3=c_i^3\cdot c_x^3$;

или

$D_a \cdot \Phi_a+ D_b \cdot \Phi_b= D_c \cdot \Phi_c$;

где:

$\Phi_a=a_x^3$;

$\Phi_b=3 \cdot b_x^3$;

$\Phi_c=c_x^3$;

2.4 И первый, и второй случаи БТФ доказываются на основании соизмеримости степеней и их оснований по

$\bmod 2\cdot 3$ .

Доказательство построено на сопоставлении величин:

$\Phi_{a^3}=(a^3-1)/6=(a^3)_1$;

— соизмеренная степень

$\Phi_a=(a-1)/6=a_1$;
— соизмеренное основание.

2.5 При доказательстве 2 случая БТФ достаточно рассмотрение варианта, когда

$ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ ,

независимо от величины рассматриваемой степени, так как всегда можно использовать перевод любого из оснований к первому классу вычетов, используя для этого сомножитель, равный точной степени, на основании возможности перевода любого класса вычетов, взаимно простого с показателем рассматриваемой степени. (Малая теорема Ферма).


Для обеспечения возможности сопоставления точных степеней, и степеней предполагаемых, посредством используемого соизмерителя, в доказательстве используется Бином Ньютона. [3]

3.1 Обозначим значение предполагаемого куба в соизмерителях как $F_{b_x^3}$,
Значение предполагаемого основания в соизмерителях как $(b_x)_1$.

3.2 Возможность приведения разности степеней к величине

$F_{b_x^3}$

обеспечивается посредством использования степеней в биноминальном выражении, при использовании соизмерителя для оснований $c, a$ по

$\bmod(2\cdot n)$,

выраженных как $c_1$ и $a_1$.

3.3 Имеем право записать:

$c^3=(6\cdot c_1+1)^3=6^3\cdot c_1^3+3\cdot 6^2\cdot c_1^2+3\cdot 6\cdot c_1+1$; 2.8.1

$a^3=(6\cdot a_1+1)^3=6^3\cdot a_1^3+3\cdot 6^2\cdot a_1^2+3\cdot 6\cdot a_1+1$; 2.8.2


3.4 Определяем разность (2.8.1-2.8.2):

$(c^3-a^3)=6^3\cdot [c_1^3-a_1^3]+3\cdot 6^2\cdot [c_1^2-a_1^2]+3\cdot 6\cdot [c_1-a_1]$; 4.4.1

Определяем $b_x^3$ посредством деления разности на $3(c-a)$:

$b_x^3=(c^3-a^3)/[3\cdot (c_1-a_1)=6\cdot 2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 6\cdot [c_1+a_1]+1; 4.4.2


Определяем

$F_{b_x^3}$ посредством вычитания единицы и деления на соизмеритель.:

:

$F_{b_x^3}=(b_x^3-1)/6=2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+[c_1+a_1]$; 3.4.3.

4.1 Получаем сумму из двух слагаемых, первое из которых содержит сомножитель 3 а второе нет.

Это при условии, если сумма

$[c_1+a_1]$ сомножителей 3 не содержит.

В этом случае и величина

$F_{b_x^3}$,

содержать сомножитель

3 не может.

Для этого варианта всё ясно.

5.1 При наличии общих сомножителей 3 в $c_1$ и $a_1$ величина $F_{b_x^3}$ содержит сомножители 3.
Почему и при наличии сомножителей 3 в $F_{b_x^3}$ обеспечивается справедливость БТФ?
Для ответа на поставленный вопрос обратимся к формализованному выражению величины для точного куба

$F_{a^3}/3$.

5.2 Формализованное выражение $F_{a^3}$посредством использования соизмерителя:

$a^3=(6\cdot a_1+1)^3=216\cdot a_1^3+3\cdot 36\cdot a_1^2 +3\cdot 6\cdot a_1+1$; 5.2.1

$F_{a^3}=(a^3-1)/6=36\cdot a_1^3+3\cdot 6\cdot a_1^2+3\cdot a_1 $; 5.2.2.

$F_{a^3}/3=12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2+a_1$. 5.2.3

5.3 Таким образом, получаем возможность рассмотреть возможность получения равенства:

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 = 1/3\cdot [2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]$$

; 5.3.1

5.4 Но анализ посредством просчёта интересующих нас сомножителей не обеспечивает доказательства.
Действительно, при сокращении правой и левой частей равенства за 3, обеспечивается наполнение сомножителями 2 и 3, и в правой и в левой частях равенства в ожидаемом количестве.
При оценке правой и левой частей равенства такой возможности не предоставляется.
Попробуем обратиться к анализу правой и левой частей равенства обособленно.

6.1 Рассмотрим ряд величин $ [12\cdot (b_x)_1+6]$, для различных значений, когда $a_1$принимает значения натурального числового ряда.
Для этого запишем формулу:

$(12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2)/(a_1^2)=12\cdot a_1+6$; 6.1.1

Сначала, зададимся вопросом:
Какие значения может иметь левая часть равенства, и должна иметь правая часть равенства.

6.2 Для этого рассмотрим результаты при значениях $a_1=i$,
где
i – число натурального числового ряда;
Получаем числовой ряд следующих значений $O_i$:

19, 122, 381, 868, 1655…Ч.Р.1

После вычитания из каждого значения величины $O_i$ значение $a_1$, и деления на $a_1^2$, полученное частное $O_i$, можно записать в следующем виде:

$O_i=18+12\cdot k$, 6.2.1

где:

$k=(a_1)_i-1$;

То есть, за вычетом из величины $O_i$ 18, построенный числовой ряд, в дальнейшем, строиться с интервалом 12.

6.3 Числовой ряд величин $(12\cdot a_1+6)$, соответствующий значениям числового ряда Ч.Р.1 принимает вид:

18, 30, 42, 54, 66, … Ч.Р.2

На основании значений числового ряда Ч.Р.2 можно определять величину
$(a_1)_i$, как числа натурального числового ряда.
При этом следует заметить, что $(a_1)_i$, всегда присутствует в числовом ряде, построенном на основании закономерности 6.2.1.

Используем данную закономерность для анализа правой части равенства 5.3.1, принимая величину

$(c_1+a_1)/3$ 6.3.1

за случайное значение

$(b_x)_1$. 6.3.2,

соответствующего истинному,

а величину

$2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)/3$ 6.3.3,

соответственно, за величину

$1/3\cdot (12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2)$; 6.3.4.

6.5 Рассмотрим вариант случайного попадания величин 6.3.1 и 6.3.3 при
равенстве $c_1=a_1$ рассмотрим на числовом примере:

$(c_1+a_1)=30$; 6.5.1

При $c_1=a_1$ обеспечивается минимальное значение величины, принятой за

$ (12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2)$. 6.5.2

В этом варианте $(b_x)_1=10$.

Расчёт:

$3\cdot 15^2\cdot 2/(10^2)=4,5$; 6.5.3

Результат сохраняется при любой выбранной наугад величине

$(c_1+a_1)$; при условии $(c_1=a_1)$.


6.6 Изменение соотношений величин $c_1$ и $a_1$ уменьшает частое, получаемое на основании расчёта по формуле 6.5.3.
То есть, случайное попадание исключается.

7.1 Остаётся ответить на вопрос:
А может можно добиться требуемого соотношения величин 6.3.1 и 6.3.3 за счёт корректировки соотношения этих величин, посредством переноса части значения величины 6.3.1 для увеличения величины 6.3.3?
И для варианта, когда $(c_1=a_1)$, и дя любого другого варианта соотношений величин $(c_1$ и $a_1)$.

7.2 Можно ли за счёт величины 6.3.1 увеличивать величину 6.3.3, чтобы добиться требуемого соотношения этих величин, и есть ли смысл этим заниматься?

Рассмотрим числовой пример:

$a=37$; $c=37+72=109$.

Примем $a_1=6$; $c_1=6+12=18$.

В этом варианте

$(c_1+a_1)=6+18=24$;

$2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)=936$;

Правая часть равенства 5.3.1 равна:

$936+24=960$;

Результат не соответствует требуемой закономерности 6.2.1.
Результат расчёта величины числового ряда Ч.Р.2 не обеспечивается.
Значение не принадлежит рассматриваемому числовому ряду, а попадает в числовой ряд:
$12\cdot j$, где j- числа натурального числового ряда.
Аналогичный результат обеспечивается при любых, произвольных величинах $c_1$ и $a_1$, обеспечивающих возможное опровержение БТФ.

Таким образом, можно утверждать, что справедливость утверждения БТФ для второго Случая элементарным способом математики для третьей степени доказана.

При этом следует отметить, что и доказательство 2 Случая БТФ для любой другой степени аналогично приведенному доказательству для куба.

8.1 Рассмотрение первого случая БТФ

Перейдём к рассмотрению первого случая БТФ для куба.
С этой целью рассмотрим ещё одну найденную закономерность.

$$F_{b_x^n}=\cfrac{[(c^n\pm \Delta_c)/(2n)-(a^n\pm \Delta_a)]/(2n)- (\Delta_c-\Delta_a)} {c-a}=\frac{(c^n-a^n)/(c-a)-1}{2n}$$;

где:

$\Delta_c$ - принадлежность основания с к классу вычетов по $\bmod(2n)$;

$\Delta_a$ - принадлежность основания a к классу вычетов по $\bmod(2n)$;

Получение величины $F_{b_x^n}$ двумя вариантами даёт нам право утверждать, что при наличии общих сомножителей n в выражениях $F_{c^3}$ и $F_{a^3}$, получение сомножителя n в выражении $F_{b_x^3}$ невыполнимо, так как величина
(\Delta_c-\Delta_a) таких сомножителей содержать не может, при выборе степеней $c^n$ и $a^n$ с нечётными основаниями.
Доказательство 1 Случая БТФ приведено для подтверждения эффективности приведенного доказательства.
При этом следует отметить, что и доказательство 1 Случая БТФ для любой другой степени аналогично приведенному доказательству для куба.



Литература:

1. Г.Эдвардс «Последняя теорема Ферма».

2. М.М. Постников «Введение в теорию алгебраических чисел».

3. М.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике».


.

[vasili]

Уважаемый Iosif! Второй случай БТФ предполагает, что одно из чисел кратно показателю n-(простому числу), но необязательно, что этим числом будет четное число. Вы же рассматриваете частный случай, кода четное число кратно показателю n.

[Iosif1]

vasili в сообщении #1282607 писал(а):

Второй случай БТФ предполагает, что одно из чисел кратно показателю n-(простому числу), но необязательно, что этим числом будет четное число.

Уважаемый vasili!
По моему мнению, одно не исключает другое.
Разность двух точных степерней с нечётными основаниями кратна $2\cdot n$.
Не понял, почему Вы считаете, что частный случай.
Частность случая можно считать на основании принятой чётности оснований рассматриваемых степеней.
Но об этом написано.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

По просьбе ТС для редактирования стартового поста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

[Iosif1]

Дополнение к приведенному доказательству.

Конструкция оснований $c$ и $a$ предопределяет только возможность возникновения чётной величины $(b_x)_1$, так как сомножители 2, присутствующие в величине $(c_1+a_1)$ должны принадлежать и $(b_x)_1$ .

Если величина $(c_1+a_1)$ представлена нечётными слагаемыми, то расчёт величины
$(b_x)_1$ по формулам 6.2.1 и 6.2.2 обеспечивает формализованное выражение величины 6.3.3, соответствующее требуемым на основании формализованного выражения величиной 6.2.1, но, при этом, обеспечивает нечётный результат величины $(b_x)_1$.
Это приводит к необходимости переноса величины, равной 12, из величины 6.3.1 к величине 6.3.3.
Если величина 6.3.1, изначально, имела единичный сомножитель 2, то количество таких сомножителей, в этой величине не изменится.
Так как величина 6 .3.3 при нечётных значениях слагаемых величины $(c_1+a_1)$ тоже имеет единичный сомножитель 2, количество таких сомножителей и в величине 6.3.3 сохранится.
Дальнейшую корректировку следует проводить посредством переноса величин, равных 24, так как необходимо сохранять получение чётного результата при расчете величины
$(b_x)_1$ по формулам 6.2.1 и 6.2.2, что тоже не может обеспечить изменение количества сомножителей 2 в величинах 6.3.1 и 6.3.3.
При двух сомножителях 2, в величине 6.3.1 корректировка посредством переноса 12 единиц приведёт к увеличению таких сомножителей в этой величине, что, также, не обеспечивает конструируемое количество сомножителей 2.
При трёх сомножителях 2, и более, в величине 6.3.1, первая корректировка величин 6.3.1 и 6.3.3 уменьшит требуемое количество сомножителей 2 в величине 6.3.1, а дальнейшие переносы оставят это искажение без изменения.
Значить, нечётность слагаемых величины $(c_1+a_1)$ не может обеспечивать опровержение утверждения БТФ.
Если слагаемые величины $(c_1+a_1)$ чётные, расчёт по формулам 6.2.2 и 6.2.1 не обеспечивает получение значение целочисленной величины $(b_x)_1$, обеспечивая остаток 0,5.
Возникает необходимость корректировки величины 6.3.3 на величину 6 единиц.
Так как, изначально, величина 6.3.3 содержит сомножителей 2 в количестве не менее трёх,
данная корректировка приводит к искажению (уменьшению), требуемого количества сомножителей 2 в величине 6.3.3, устранение которой при дальнейшей корректировке невозможно, так как дальнейшая корректировка должна осуществляться переносом величин по 24 единицы, чтобы оставаться в чётных значениях величины $(b_x)_1$.
То есть, при дальнейшей корректировке искажение не исправимо.


Таким образом, можно утверждать, что справедливость утверждения БТФ для 2 Случая элементарным способом математики для третьей степени доказана.

При этом следует отметить, что и доказательство 2 Случая БТФ для любой другой степени аналогично приведенному доказательству для куба.

По мнению автора, просчёт сомножителей 2 значительно эффективней просчёта сомножителей n, где количество возможных вариаций сводится к минимуму, на основании чётности слагаемых $(c_1+a_1)$ , по сравнению с просчётом сомножителей n.

[yk2ru]

В первом сообщении 4.4.2 не формула, а текст недоформатированный.

[Iosif1]

yk2ru в сообщении #1287800 писал(а):

В первом сообщении 4.4.2 не формула, а текст недоформатированный.

Я отправлялся в карантин.
Сейчас, такого параграфа нет.
Если можно уточните, что там написано.
Стараясь изложить доказательство, пробовал разные варианты.
Поэтому не могу определить, 4.4.2, это о чём?

[yk2ru]

Iosif1 в сообщении #1287808 писал(а):

4.4.2, это о чём?

О номере формулы, о чём же ещё?

[Iosif1]

yk2ru в сообщении #1287818 писал(а):

Iosif1 в сообщении #1287808 писал(а):

4.4.2, это о чём?

О номере формулы, о чём же ещё?

Номер формулы не исправлен, и она оказалась в другом параграфе.
Поэтому я Вас не понял.


Там написано:

Определяем

$F_{b_x^3}$ посредством вычитания единицы и деления на соизмеритель.:

а дальше формула.
Если можно, уточните замечание.

[yk2ru]

Iosif1 в сообщении #1282463 писал(а):

$b_x^3=(c^3-a^3)/[3\cdot (c_1-a_1)=6\cdot 2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 6\cdot [c_1+a_1]+1; 4.4.2

Формулу не вижу, но вижу cdot-ы 5 штук вместо точек и прочерки вместо индексов (c_1-a_1).

[Iosif1]

yk2ru в сообщении #1287862 писал(а):

Формулу не вижу, но вижу cdot-ы 5 штук вместо точек и прочерки вместо индексов (c_1-a_1).

У меня формула выглядит нормально.
Постараюсь продублировать доказательство с опубликованным добавлением.
Спасибо за информацию. Может быть и другие видят искажения?

[yk2ru]

Iosif1 в сообщении #1287869 писал(а):

У меня формула выглядит нормально

Похоже что не хватает символа доллара или наоборот один лишний (с одной стороны два, а с другой один например). Разные браузеры наверное по разному на это реагируют.

[Iosif1]

yk2ru в сообщении #1287885 писал(а):

Iosif1 в сообщении #1287869 писал(а):

У меня формула выглядит нормально

Похоже что не хватает символа доллара или наоборот один лишний (с одной стороны два, а с другой один например). Разные браузеры наверное по разному на это реагируют.

Спасибо, Вы оказались правы.

Исправленное:

3.4 Определяем разность (2.8.1-2.8.2):

$(c^3-a^3)=6^3\cdot [c_1^3-a_1^3]+3\cdot 6^2\cdot [c_1^2-a_1^2]+3\cdot 6\cdot [c_1-a_1]$$; 3.4.1

Определяем $b_x^3$ посредством деления разности на $3(c-a)$:

$b_x^3=(c^3-a^3)/3\cdot (c_1-a_1)=6\cdot 2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 6\cdot [c_1+a_1]+1$; 3.4.2

Определяем $F_{b_x^3}$ посредством вычитания единицы и деления на соизмеритель.:

$F_{b_x^3}=(b_x^3-1)/6=2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+[c_1+a_1]$; 4.4.3.

Пока с дублированием повременю.

[Iosif1]

Дублирование с уточнениями, которые по моему мнению необходимы.
Так как вопросы и замечания отсутствуют.


Ключ к БТФ

Вступление

1.1 Доказательство Большой теоремы Ферма (БТФ) может считаться справедливым, если оно удовлетворяет условию:

Показатель степени n – простое число. [1]

Рассмотрим доказательство Большой теоремы Ферма при рассмотрении уравнения Ферма для куба.

Необходимо доказать, что

$a^3+b^3=c^3$: 1.1.1

при целочисленных

$a, b, c$

и

$n>2$

невозможно.


1.2 Различают два случая Большой теоремы Ферма (БТФ).

К первому Случаю БТФ относятся варианты, когда ни одно из оснований степеней $a^3;b^3,c^3$
$a,b,c$ не содержат сомножителей n.

1.3 Ко второму Случаю БТФ относятся варианты, когда одно из оснований, например $b$ содержит сомножители $2n$.


С него и начнём рассмотрение доказательства.

Второй случай БТФ

2.1 Имеют место:

$ a \equiv c \mod (2n)$

$a,b,c$ — взаимно простые числа, а основание

$b$ – чётное.

Именно этот вариант актуален для доказательства элементарными способами математики. [2]

2.2 Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие:

$(c-b)=D_a$;
$(c-a)=D_b$;
$(a+b)=D_c$;



где, например,

$D_c=c_i^3$;
$D_a=a_i^3$;
$D_b=b_i^3/3$;

где:

$c_i, a_i, b_i$— целые числа.



2.3 Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:

$a_i^3\cdot a_x^3 +b_i^3\cdot b_x ^3=c_i^3\cdot c_x^3$;

или

$D_a \cdot \Phi_a+ D_b \cdot \Phi_b= D_c \cdot \Phi_c$;

где:

$\Phi_a=a_x^3$;

$\Phi_b=3 \cdot b_x^3$;

$\Phi_c=c_x^3$;

2.4 И первый, и второй случаи БТФ доказываются на основании соизмеримости степеней и их оснований по

$\bmod 2\cdot 3$ .

Доказательство построено на сопоставлении величин:

$\Phi_{a^3}=(a^3-1)/6=(a^3)_1$;

— соизмеренная степень

$\Phi_a=(a-1)/6=a_1$;
— соизмеренное основание.

2.5 При доказательстве 2 случая БТФ достаточно рассмотрение варианта, когда

$ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ ,

независимо от величины рассматриваемой степени, так как всегда можно использовать перевод любого из оснований к первому классу вычетов, используя для этого сомножитель, равный точной степени, на основании возможности перевода любого класса вычетов, взаимно простого с показателем рассматриваемой степени. (Малая теорема Ферма).


Для обеспечения возможности сопоставления точных степеней, и степеней предполагаемых, посредством используемого соизмерителя, в доказательстве используется Бином Ньютона. [3]

3.1 Обозначим значение предполагаемого куба в соизмерителях как $F_{b_x^3}$,
Значение предполагаемого основания в соизмерителях как $(b_x)_1$.

3.2 Возможность приведения разности степеней к величине

$F_{b_x^3}$

обеспечивается посредством использования степеней в биноминальном выражении, при использовании соизмерителя для оснований $c, a$ по

$\bmod(2\cdot n)$,

выраженных как $c_1$ и $a_1$.

3.3 Имеем право записать:

$c^3=(6\cdot c_1+1)^3=6^3\cdot c_1^3+3\cdot 6^2\cdot c_1^2+3\cdot 6\cdot c_1+1$; 2.8.1

$a^3=(6\cdot a_1+1)^3=6^3\cdot a_1^3+3\cdot 6^2\cdot a_1^2+3\cdot 6\cdot a_1+1$; 2.8.2


3.4 Определяем разность (2.8.1-2.8.2):

$(c^3-a^3)=6^3\cdot [c_1^3-a_1^3]+3\cdot 6^2\cdot [c_1^2-a_1^2]+3\cdot 6\cdot [c_1-a_1]$$; 3.4.1

Определяем $b_x^3$ посредством деления разности на $3(c-a)$:

$b_x^3=(c^3-a^3)/3\cdot (c_1-a_1)=6\cdot 2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 6\cdot [c_1+a_1]+1$; 3.4.2


Определяем $F_{b_x^3}$ посредством вычитания единицы и деления на соизмеритель.:

:

$F_{b_x^3}=(b_x^3-1)/6=2\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+[c_1+a_1]$; 3.4.3.

4.1 Получаем сумму из двух слагаемых, первое из которых содержит сомножитель 3 а второе нет.

Это при условии, если сумма

$[c_1+a_1]$ сомножителей 3 не содержит.

В этом случае и величина

$F_{b_x^3}$,

содержать сомножитель

3 не может.

Для этого варианта всё ясно.


5.1 При наличии общих сомножителей 3 в $c_1$ и $a_1$ величина $F_{b_x^3}$ содержит сомножители 3.
Почему и при наличии сомножителей 3 в $F_{b_x^3}$ обеспечивается справедливость БТФ?
Для ответа на поставленный вопрос обратимся к формализованному выражению величины для точного куба

$F_{a^3}/3$.

5.2 Формализованное выражение $F_{a^3}$посредством использования соизмерителя:

$a^3=(6\cdot a_1+1)^3=216\cdot a_1^3+3\cdot 36\cdot a_1^2 +3\cdot 6\cdot a_1+1$; 5.2.1

$F_{a^3}=(a^3-1)/6=36\cdot a_1^3+3\cdot 6\cdot a_1^2+3\cdot a_1 $; 5.2.2.

$F_{a^3}/3=12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2+a_1$. 5.2.3

5.3 Таким образом, получаем возможность рассмотреть возможность получения равенства:

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 = 1/3\cdot [2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]$$

; 5.3.1

5.4 Но анализ посредством просчёта интересующих нас сомножителей не обеспечивает доказательства.
Действительно, при сокращении правой и левой частей равенства за 3, обеспечивается наполнение сомножителями 2 и 3, и в правой и в левой частях равенства в ожидаемом количестве.
При оценке правой и левой частей равенства такой возможности не предоставляется.
Попробуем обратиться к анализу правой и левой частей равенства обособленно.

6.1 Рассмотрим ряд величин $ [12\cdot (b_x)_1+6]$, для различных значений, когда $a_1$ принимает значения натурального числового ряда.
Для этого запишем формулу:

$(12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2)/(a_1^2)=12\cdot a_1+6$; 6.1.1

Сначала, зададимся вопросом:
Какие значения может иметь левая часть равенства, и должна иметь правая часть равенства.

6.2 Для этого рассмотрим результаты при значениях $a_1=i$,
где
i – число натурального числового ряда;
Получаем числовой ряд следующих значений $O_i$:

19, 122, 381, 868, 1655…Ч.Р.1

После вычитания из каждого значения величины $O_i$ значение $a_1$, и деления на $a_1^2$, полученное частное $O_i$, можно записать в следующем виде:

$O_i=18+12\cdot k$, 6.2.1

где:

$k=(a_1)_i-1$; 6.2.2

То есть, за вычетом из величины $O_i$ 18, построенный числовой ряд, в дальнейшем, строиться с интервалом 12.

6.3 Числовой ряд величин $(12\cdot a_1+6)$, соответствующий значениям числового ряда Ч.Р.1 принимает вид:

18, 30, 42, 54, 66, … Ч.Р.2

На основании значений числового ряда Ч.Р.2 можно определять величину
$(a_1)_i$, как числа натурального числового ряда.
При этом следует заметить, что $(a_1)_i$, всегда присутствует в числовом ряде, построенном на основании закономерности 6.2.1.

Используем данную закономерность для анализа правой части равенства 5.3.1, принимая величину

$(c_1+a_1)/3$ 6.3.1

за случайное значение

$(b_x)_1$. 6.3.2,

соответствующего истинному,

а величину

$2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)/3$ 6.3.3,

соответственно, за величину

$1/3\cdot (12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2)$; 6.3.4.

6.5 Рассмотрим вариант случайного попадания величин 6.3.1 и 6.3.3 при
равенстве $c_1=a_1$ рассмотрим на числовом примере:

$(c_1+a_1)=30$; 6.5.1

При $c_1=a_1$ обеспечивается минимальное значение величины, принятой за

$ (12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2)$. 6.5.2

В этом варианте $(b_x)_1=10$.

Расчёт:

$3\cdot 15^2\cdot 2/(10^2)=4,5$; 6.5.3

Результат сохраняется при любой выбранной наугад величине

$(c_1+a_1)$; при условии $(c_1=a_1)$.


6.6 В пункте 6.5 рассматривается вариант, который не дпёт полную возможность
исключения случайного попадания.
Рассмотрим формализованное выражение действительного утверждения невозможности такого события.
В рассматриваемом предположении при любом соотношении величин $c_1$ и $a_1$ имеем право записать:

$(b_x)_1= $(c_1+a_1)/3$;

Откуда:

$(b_x)_1^2= (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)/9$;

Поэтому:

$$6\cdot (b_x)_1^2=6\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)/9= 2\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)/3$$

;

Получаем возможность сопоставить величины
$6\cdot (b_x)_1^2 =2\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)/3$;

и

$2\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)/3$;

То есть, данным расчётом обеспечивается использование более $1/3$ величины

$2\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)$; на величину $ c_1\cdot a_1$;

в результате чего становится ясно, что на получение величины

$12 \cdot (b_x)_1^3$ остаётся возможность использовать менее

$2/3 \cdot 2\cdot (c_1^2+ c_1\cdot a_1+a_1^2)$;

Даже не учитывая степени величины $(b_x)_1$? На основании коэффициента

$12=6\cdot 2$, можно утверждать, что предполагаемая величина

$12\cdot (b_x)_1^3 +6 \cdot (b_x)_1^2$;

обеспечена быть не может.

То есть, случайное попадание исключается.

7.1 Остаётся ответить на вопрос:
А может можно добиться требуемого соотношения величин 6.3.1 и 6.3.3 за счёт корректировки соотношения этих величин, посредством переноса части значения величины 6.3.1 для увеличения величины 6.3.3?
И для варианта, когда $(c_1=a_1)$, и для любого другого варианта соотношений величин $(c_1$ и $a_1)$?

7.2 Можно ли за счёт величины 6.3.1 увеличивать величину 6.3.3, чтобы добиться требуемого соотношения этих величин, и есть ли смысл этим заниматься?

Конструкция оснований $c$ и $a$ предопределяет только возможность возникновения чётной величины $(b_x)_1$, так как сомножители 2, присутствующие в величине $(c_1+a_1)$ должны принадлежать и $(b_x)_1$ .
Это справедливо потому, что корректировка может обеспечиваться переносом величин, только кратных 6 –ти, что не позволяет исказить чётность конструируемой величины $(b_x)_1$ (см. пункт 7.2 далее) .

Если величина $(c_1+a_1)$ представлена нечётными слагаемыми, то расчёт величины
$(b_x)_1$ по формулам 6.2.1 и 6.2.2 обеспечивает формализованное выражение величины 6.3.3, соответствующее требуемым на основании формализованного выражения величиной 6.2.1, но, при этом, обеспечивает нечётный результат величины $(b_x)_1$.
Это приводит к необходимости переноса величины, равной 12, из величины 6.3.1 к величине 6.3.3.
Если величина 6.3.1, изначально, имела единичный сомножитель 2, то количество таких сомножителей, в этой величине не изменится.
Так как величина 6 .3.3 при нечётных значениях слагаемых величины $(c_1+a_1)$ тоже имеет единичный сомножитель 2, количество таких сомножителей и в величине 6.3.3 сохранится.
Дальнейшую корректировку следует проводить посредством переноса величин, равных 24, так как необходимо сохранять получение чётного результата при расчете величины
$(b_x)_1$ по формулам 6.2.1 и 6.2.2, что тоже не может обеспечить изменение количества сомножителей 2 в величинах 6.3.1 и 6.3.3.
При двух сомножителях 2, в величине 6.3.1 корректировка посредством переноса 12 единиц приведёт к увеличению таких сомножителей в этой величине, что, также, не обеспечивает конструируемое количество сомножителей 2.
При трёх сомножителях 2, и более, в величине 6.3.1, первая корректировка величин 6.3.1 и 6.3.3 уменьшит требуемое количество сомножителей 2 в величине 6.3.1, а дальнейшие переносы оставят это искажение без изменения.
Значить, нечётность слагаемых величины $(c_1+a_1)$ не может обеспечивать опровержение утверждения БТФ.
Если слагаемые величины $(c_1+a_1)$ чётные, расчёт по формулам 6.2.2 и 6.2.1 не обеспечивает получение значение целочисленной величины $(b_x)_1$, обеспечивая остаток 0,5.
Возникает необходимость корректировки величины 6.3.3 на величину 6 единиц.
Так как, изначально, величина 6.3.3 содержит сомножителей 2 в количестве не менее трёх,
данная корректировка приводит к искажению (уменьшению), требуемого количества сомножителей 2 в величине 6.3.3, устранение которой при дальнейшей корректировке невозможно, так как дальнейшая корректировка должна осуществляться переносом величин по 24 единицы, чтобы оставаться в чётных значениях величины $(b_x)_1$.



Таким образом, можно утверждать, что справедливость утверждения БТФ для 2 Случая элементарным способом математики для третьей степени доказана.

При этом следует отметить, что и доказательство 2 Случая БТФ для любой другой степени аналогично приведенному доказательству для куба.

По мнению автора, просчёт сомножителей 2 значительно эффективней просчёта сомножителей n, где количество возможных вариаций сводится к минимуму, на основании чётности слагаемых $(c_1+a_1)$ , по сравнению с просчётом сомножителей n.

8.1 Рассмотрение первого случая БТФ

Перейдём к рассмотрению первого случая БТФ для куба.
С этой целью рассмотрим ещё одну найденную закономерность.

$$F_{b_x^n}=\cfrac{[(c^n\pm \Delta_c)/(2n)-(a^n\pm \Delta_a)]/(2n)- (\Delta_c-\Delta_a)} {c-a}=\frac{(c^n-a^n)/(c-a)-1}{2n}$$;

где:

$\Delta_c$ - принадлежность основания с к классу вычетов по $\bmod(2n)$;

$\Delta_a$ - принадлежность основания a к классу вычетов по $\bmod(2n)$;

Получение величины $F_{b_x^n}$ двумя вариантами даёт нам право утверждать, что при наличии общих сомножителей n в выражениях $F_{c^3}$ и $F_{a^3}$, получение сомножителя n в выражении $F_{b_x^3}$ невыполнимо, так как величина
(\Delta_c-\Delta_a) таких сомножителей содержать не может, при выборе степеней $c^n$ и $a^n$ с нечётными основаниями.
Доказательство 1 Случая БТФ приведено для подтверждения эффективности приведенного доказательства.
При этом следует отметить, что и доказательство 1 Случая БТФ для любой другой степени аналогично приведенному доказательству для куба.



Литература:

1. Г.Эдвардс «Последняя теорема Ферма».

2. М.М. Постников «Введение в теорию алгебраических чисел».

3. М.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике».