Предел последовательности средних арифметических

[Lesobrod]

Пусть даны два числа $x_1=a < x_2=b$.
Найдем среднее арифметическое:

$$ x_3=\frac{x_1+x_2}{2} $$

Далее будем находить среднее между двумя предыдущими значениями, т.е.:

$$ x_k=\frac{x_{k-1}+x_{k-2}}{2}, k=3,.. $$

То, что эта последовательность имеет предел, легко доказать по неравенствам. А вот найти этот предел я смог только "в лоб".
Предположим, что $x_k=q^k$. Получаем характеристическое уравнение:

$$2q^2-q-1=0$$

с корнями $1;-\frac{1}{2}$. Полагая $x_k=C_1q_1^k+C_2q_2^k$ и используя исходные данные, получаем:

$$x_k=\frac{a+2b}{3}+(-1)^k\frac{a-b}{3 \cdot 2^{k-1}}$$

Переходя к пределу, получаем удивительно простое выражение:

$$x_{\ast}=\frac{a+2b}{3}$$

Напрашивается идея, что этот предел можно получить более простым и красивым способом, ну, хотя бы предположив, что $x_{\ast}=\alpha\cdot a+\beta\cdot b $ и т.д., но что-то ничего путного не получается.

И вот еще вопрос. Возьмем $n>2$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

[Padawan]

Lesobrod в сообщении #453879 писал(а):

И вот еще вопрос. Возьмем $n$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

Кроме $n=2$.

[Lesobrod]

Поправил

[Sonic86]

Lesobrod писал(а):

Переходя к пределу, получаем удивительно простое выражение:

$$x_{\ast}=\frac{a+2b}{3}$$

Напрашивается идея, что этот предел можно получить более простым и красивым способом, ну, хотя бы предположив, что $x_{\ast}=\alpha\cdot a+\beta\cdot b $ и т.д., но что-то ничего путного не получается.

Видимо значение предела надо было угадать, а потом доказать, что предельная точка $x_{\ast}$ принадлежит всем интервалам $(x_{2j-1};x_{2j})$ (причем она даже их делит в одном и том же отношении). Может быть можно рассмотреть сжимающий оператор $f:(x_{2j-1};x_{2j}) \to (x_{2j+1};x_{2j+2})$ - он линейный будет.

-- Сб июн 04, 2011 15:42:43 --

Lesobrod писал(а):

И вот еще вопрос. Возьмем $n>2$ точек в $m$-мерном пространстве. Отбросим одну из них и найдем "центр масс" остальных; отбросив каждую по разу, найдем $n$ новых центров масс. Повторим операцию для этого множества и т.д. Я вроде начал мутить с векторами, а нельзя ли сразу предсказать, что получится?

В случае $n=3$ очевидно В случае $n=4$ можно 4-хугольник точек аффинно преобразуем в квадрат и тогда тоже очевидно. Видимо, сходится к центру масс.

[MorisHuxley]

Можно заметить, что подпоследовательность, состоящая из, например, нечетных членов исходной последовательности можно описать следующей формулой для $n>1$:

$$y_n = a + (b - a)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}^{2i - 1}$$

Известно, что подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел. Найдем предел $y_n$:

$$\lim\limits_{n \to \infty}{y_n}= a + (b - a)S_n$$

$S_n = \frac{1/2}{1-1/4} = \frac{2}{3}$ - сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Подставляя, получаем:

$$\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=\lim\limits_{n \to \infty}{y_n}= \frac{a+2b}{3}$$