Задача по механике

[ipanema]

На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R плотно намотана лёгкая нить, к концу которой прикреплён груз массы m. В момент $t = 0$ система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени модуля угловой скорости цилиндра.



Нарисовал рисунок, думаю найти угловое ускорение $\beta$, а дальше $\omega(t) = \beta t$.

$-RT = J \beta \quad (1)$, (момент силы $Mg$ равен 0)
$mg - T = ma$, $a = \beta R$
$T = mg - ma = mg - m \beta R$

Подставляю $T$ в (1):
$m \beta R^2 - mgR = J \beta$
Подставляю $J = \frac{MR^2}{2}$ и выражаю $\beta$:
$m \beta R^2 - mgR = \frac{MR^2\beta}{2}$
$m \beta R - mg = \frac{MR\beta}{2}$
$\beta (mR -\frac{MR}{2}) = mg$
$\beta = \frac{mg}{mR -\frac{MR}{2}} = \frac{g}{R(1-\frac{M}{2m})}$
$\omega(t) = \beta t = \frac{gt}{R(1-\frac{M}{2m})}$

В ответе написано то же самое, но в знаменателе стоит плюс. Подскажите пожалуйста, где я ошибся?

[Zai]

У Вас сила T, которая раскручивает диск нарисована неправильно.
Направление \beta положительно по часовой стрелке.
$J \beta= TR
$T= mg-m \beta R
$J \beta= m(g- \beta R)R

[ipanema]

Спасибо! Всё получилось! Ну и глупая же была ошибка...

[kenisha61]

Можете подсказать откуда у вас получился RT=Jb b-бета?