Минимум целочисленной функции двух переменных

[qx87]

Пусть задано число $a \in \mathbb{N}$.

При каком $b \in \mathbb{N} \cap [1, a]$ функция $\displaystyle h(a, b) = \frac{a^2+b^2}{\text{НОД}(a, b)}$ достигает минимального значения?

Моё предположение: $b = a$. Тогда $h_{min} = 2a$. Но оно основано просто на вычислениях для разных чисел. Доказать его не могу. В какую сторону думать?

[StaticZero]

qx87
Указание: рассмотреть функцию $a^2 + b^2 - 2 a \text{НОД} (a, b)$.

[vpb]

StaticZero
Не в обиду Вам будь сказано, Ваше "указание" совершенно неправильное.

qx87
Не знаю даже что написать, больно уж задача простая. Такой намек. Предположим, мы знаем, что $a=1000$, плюс-минус десять процентов. И еще знаем, что ${\rm GCD}(a,b)=700$, тоже плюс-минус десять процентов. Про само же $b$ ничего не знаем. Вопрос (риторический): может ли такое быть?
(GCD --- это Greatest Common Divisor, НОД; почему-то русские буквы не пропечатались).

[vpb]

vpb в сообщении #1282562 писал(а):

StaticZero
Не в обиду Вам будь сказано, Ваше "указание" совершенно неправильное.

Я был неправ. StaticZero прислал мне по этому поводу ЛС. Однако, тот способ решения, который использовал StaticZero, не очень естественный и до него догадаться трудно, имхо.

[qx87]

Прежде всего, поскольку $a$ фиксировано, всё-таки нужно считать $h$ функцией одной переменной.

StaticZero
Так, ну.
Пусть $y(b) = a^2 + b^2 - 2 a \text{НОД} (a, b)$.
Поскольку $\text{НОД}(a,b) \leqslant b, \; y(b) \geqslant (a-b)^2 \geqslant 0$. Получаем, что $y(b)$ достигает минимума при $b=a$, как я и предполагал.

Нашу функцию можно получить из этой с помощью сжатия и сдвига на фиксированное $2a$:
$h(b) = \frac{y(b)}{\text{НОД}(a,b)} + 2a$, поэтому обе функции достигают минимумов одновременно. ЧТД.

Всё верно, нет ошибок?

vpb
Нет, конечно. НОД будет либо 1000, либо 500 тогда уж. Плюс-минус 10%. Но что это даёт доказательству, не понимаю.

[adfg]

qx87

$\text{НОД}=\frac{a}{n}$, где $n$-натуральное. Если подставить и поделить, сразу видно минимум достигается при $n=1$